Satélites, órbitas y leyes de Kepler

a) Para un satélite de masa $m$ en órbita circular de radio $r$ alrededor de un planeta de masa $M$, la fuerza gravitatoria es la centrípeta:$$\frac{G M m}{r^2} = \frac{m v^2}{r} \quad\Longrightarrow\quad m v^2 = \frac{G M m}{r}$$La energía cinética vale entonces$$E_c = \tfrac{1}{2} m v^2 = \frac{G M m}{2r}$$y la energía potencial gravitatoria es$$E_p = -\frac{G M m}{r}$$Comparando ambas:$$\boxed{E_c = -\tfrac{1}{2}E_p} \qquad\text{y por tanto}\qquad E = E_c + E_p = -\frac{G M m}{2r} = \frac{E_p}{2} = -E_c$$La energía cinética es la mitad del valor absoluto de la potencial, y la energía total es negativa: el satélite está ligado.

b) Relacionamos primero la gravedad en la superficie con $G M$:$$g = \frac{G M_T}{R_T^2} \quad\Longrightarrow\quad G M_T = g\,R_T^2$$Para Júpiter, $M_J = 300\,M_T$ y, al ser su diámetro $10$ veces mayor, también $R_J = 10\,R_T$:$$G M_J = 300\,g\,R_T^2 \qquad R_J = 10\,R_T$$La velocidad de escape sale de exigir energía total nula ($E_c + E_p = 0$):$$\tfrac{1}{2}m v_e^2 - \frac{G M_J m}{R_J} = 0 \quad\Longrightarrow\quad v_e = \sqrt{\frac{2 G M_J}{R_J}}$$Sustituyendo:$$v_e = \sqrt{\frac{2\cdot 300\,g\,R_T^2}{10\,R_T}} = \sqrt{60\,g\,R_T}$$$$v_e = \sqrt{60\cdot 9{,}8\cdot 6{,}37\cdot 10^{6}} = \sqrt{3{,}75\cdot 10^{9}}$$$$v_e = 6{,}12\cdot 10^{4}\ \text{m}\,\text{s}^{-1}$$