Satélites, órbitas y leyes de Kepler

a) i) La tercera ley de Kepler afirma que, para los cuerpos que orbitan alrededor de un mismo astro central, el cuadrado del periodo es proporcional al cubo del radio de la órbita (del semieje mayor, en general):$$T^2 = \frac{4\pi^2}{G\,M}\,r^3$$Magnitudes y unidades en el S.I.:

• $T$: periodo orbital, en segundos (s).
• $r$: radio de la órbita, en metros (m).
• $M$: masa del astro central, en kilogramos (kg).
• $G$: constante de gravitación universal, $6{,}67\cdot 10^{-11}\,\text{N}\,\text{m}^2\,\text{kg}^{-2}$.

Obsérvese que la constante de proporcionalidad $4\pi^2/GM$ no depende de la masa del satélite: es la misma para todos los que orbiten ese planeta.

a) ii) Aplicando la ley a los dos satélites y dividiendo, la constante se cancela:$$\frac{T_1^2}{T_2^2} = \frac{r_1^3}{r_2^3} \quad\Longrightarrow\quad \frac{T_1}{T_2} = \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^{3/2}$$Con $r_1 = 2\,r_2$:$$\frac{T_1}{T_2} = 2^{3/2} = 2\sqrt{2} = 2{,}83$$El satélite de la órbita exterior tarda unas $2{,}83$ veces más en dar una vuelta.

b) i) Radio de la órbita (¡desde el centro del planeta!):$$r = R + h = 6000 + 20\,000 = 26\,000\ \text{km} = 2{,}6\cdot 10^{7}\ \text{m}$$Periodo: $T = 1\ \text{día} = 86\,400\ \text{s}$.

Despejando la masa de la tercera ley de Kepler:$$M = \frac{4\pi^2\,r^3}{G\,T^2} = \frac{4\pi^2\,(2{,}6\cdot 10^{7})^3}{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot (86\,400)^2}$$$$M = \frac{39{,}48\cdot 1{,}758\cdot 10^{22}}{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 7{,}465\cdot 10^{9}} = \frac{6{,}94\cdot 10^{23}}{0{,}498}$$$$M = 1{,}39\cdot 10^{24}\ \text{kg}$$b) ii) La energía cinética de un satélite en órbita circular es$$E_c = \frac{G M m}{2\,r}$$Con $G M = 6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 1{,}39\cdot 10^{24} = 9{,}30\cdot 10^{13}$ y $m = 200\,\text{kg}$:

Órbita original ($r_1 = 2{,}6\cdot 10^{7}\,\text{m}$):$$E_{c,1} = \frac{9{,}30\cdot 10^{13}\cdot 200}{2\cdot 2{,}6\cdot 10^{7}} = 3{,}58\cdot 10^{8}\ \text{J}$$Órbita a la mitad de altura ($h_2 = 10^{4}\,\text{km}$, luego $r_2 = 6000 + 10\,000 = 16\,000\ \text{km} = 1{,}6\cdot 10^{7}\,\text{m}$):$$E_{c,2} = \frac{9{,}30\cdot 10^{13}\cdot 200}{2\cdot 1{,}6\cdot 10^{7}} = 5{,}81\cdot 10^{8}\ \text{J}$$Diferencia:$$E_{c,1} - E_{c,2} = 3{,}58\cdot 10^{8} - 5{,}81\cdot 10^{8} = -2{,}23\cdot 10^{8}\ \text{J}$$En valor absoluto, $2{,}23\cdot 10^{8}\,\text{J}$: el satélite tiene más energía cinética en la órbita baja, porque allí va más rápido.