Satélites, órbitas y leyes de Kepler

a) i) La gravedad en la superficie de un astro es $g = \dfrac{G M}{R^2}$. Comparando:$$\frac{g_p}{g_T} = \frac{M_p}{M_T}\cdot\left(\frac{R_T}{R_p}\right)^2 = \frac{27}{3^2} = \frac{27}{9} = 3$$$$g_p = 3\,g_T$$La gravedad en el planeta es el triple que en la Tierra (unos $29{,}4\,\text{m}\,\text{s}^{-2}$).

a) ii) La velocidad de escape es $v_e = \sqrt{\dfrac{2GM}{R}}$. Comparando:$$\frac{v_{e,p}}{v_{e,T}} = \sqrt{\frac{M_p}{M_T}\cdot\frac{R_T}{R_p}} = \sqrt{\frac{27}{3}} = \sqrt{9} = 3$$$$v_{e,p} = 3\,v_{e,T}$$También el triple (unos $33{,}6\,\text{km}\,\text{s}^{-1}$). Obsérvese que la coincidencia numérica es casual: en un caso el radio entra al cuadrado y en el otro, bajo raíz.

b) i) Si da $12$ vueltas al día, el periodo es$$T = \frac{24\ \text{h}}{12} = 2\ \text{h} = 7200\ \text{s}$$Igualando la fuerza gravitatoria a la centrípeta, con $v = 2\pi r/T$:$$r = \sqrt[3]{\frac{G\,M_T\,T^2}{4\pi^2}} = \sqrt[3]{\frac{3{,}99\cdot 10^{14}\cdot (7200)^2}{4\pi^2}} = \sqrt[3]{5{,}24\cdot 10^{20}}$$$$r = 8{,}06\cdot 10^{6}\ \text{m}$$(unos $1690\,\text{km}$ de altura sobre la superficie).

b) ii) Velocidad orbital:$$v = \sqrt{\frac{G M_T}{r}} = \sqrt{\frac{3{,}99\cdot 10^{14}}{8{,}06\cdot 10^{6}}} = 7{,}03\cdot 10^{3}\ \text{m}\,\text{s}^{-1}$$(equivalente: $v = 2\pi r/T = 7{,}03\cdot 10^{3}\,\text{m}\,\text{s}^{-1}$).

b) iii) Energía mecánica de una órbita circular:$$E = E_c + E_p = \frac{G M_T m}{2r} - \frac{G M_T m}{r} = -\frac{G\,M_T\,m}{2\,r}$$$$E = -\frac{3{,}99\cdot 10^{14}\cdot 1000}{2\cdot 8{,}06\cdot 10^{6}}$$$$E = -2{,}47\cdot 10^{10}\ \text{J}$$Razonamiento del signo. Es negativa, y así debe ser: significa que el satélite está ligado al campo gravitatorio terrestre. Con la referencia $E_p = 0$ en el infinito, una energía mecánica negativa indica que el satélite no tiene energía suficiente para alejarse indefinidamente; sería necesario aportarle $2{,}47\cdot 10^{10}\,\text{J}$ para llevarlo hasta $E = 0$ y que escapara. Una energía positiva correspondería a una trayectoria abierta, no a una órbita.