FísicaMedioProblema · 2,5 pts

Campo y potencial gravitatorio

Andalucía · 2017 · Junio · Opción B

Enunciado

a) Un bloque de acero está situado sobre la superficie terrestre. Indique justificadamente cómo se modificaría el valor de su peso si la masa de la Tierra se redujese a la mitad y se duplicase su radio.

b) El planeta Mercurio tiene un radio de

2440\,\text{km}

y la aceleración de la gravedad en su superficie es

3{,}7\,\text{m}\,\text{s}^{-2}

. Calcule la altura máxima que alcanza un objeto que se lanza verticalmente desde la superficie del planeta con una velocidad de

0{,}5\,\text{m}\,\text{s}^{-1}

.

Dato:

G = 6{,}67\cdot 10^{-11}\,\text{N}\,\text{m}^2\,\text{kg}^{-2}

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;P' = \dfrac{P}{8}\;}

\boxed{\;h = 3{,}4\cdot 10^{-2}\ \text{m} \approx 3{,}4\ \text{cm}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

En a) basta con escribir

g = GM/R^2

y ver cómo responde a los dos cambios: la masa se va a la mitad (factor

1/2

) y el radio se duplica, pero al cuadrado (factor

1/4

). Los dos efectos se multiplican.

En b) la altura que alcanza el objeto es ridícula comparada con el radio de Mercurio (

3\,\text{cm}

frente a

2440\,\text{km}

), así que se puede tratar el campo como uniforme y usar conservación de energía con

E_p = mgh

. El dato de

G

es un cebo: no hace falta.

Desarrollo

a) El peso de un cuerpo en la superficie es

P = m g = m\,\frac{G M_T}{R_T^2}

Si la masa pasa a

M_T' = M_T/2

y el radio a

R_T' = 2R_T

g' = \frac{G\,(M_T/2)}{(2R_T)^2} = \frac{G M_T}{2\cdot 4\,R_T^2} = \frac{1}{8}\,\frac{G M_T}{R_T^2} = \frac{g}{8}

El peso se reduciría a la octava parte del original:

P' = \frac{P}{8}

b) Datos de Mercurio:

R = 2440\,\text{km} = 2{,}44\cdot 10^{6}\,\text{m}

g = 3{,}7\,\text{m}\,\text{s}^{-2}

v_0 = 0{,}5\,\text{m}\,\text{s}^{-1}

.

Como la velocidad es muy pequeña, la altura será minúscula frente al radio del planeta y podemos considerar el campo uniforme. Conservación de la energía mecánica entre el lanzamiento y el punto más alto (donde

v = 0

\tfrac{1}{2}m v_0^2 = m\,g\,h

h = \frac{v_0^2}{2g} = \frac{(0{,}5)^2}{2\cdot 3{,}7} = \frac{0{,}25}{7{,}4}

h = 3{,}4\cdot 10^{-2}\ \text{m} = 3{,}4\ \text{cm}

Se confirma la hipótesis:

h \ll R

, así que la aproximación de campo uniforme era correcta.

Consejo

En a) el radio va al cuadrado: duplicarlo divide $g$ entre $4$ , no entre $2$ . Junto con la mitad de masa, el factor total es $1/8$ .

En b), justifica que usas $E_p = mgh$ porque $h \ll R$ . Si te empeñas en la fórmula general $-GMm/r$ tendrás que restar dos números casi idénticos y la calculadora te devolverá basura.