Satélites, órbitas y leyes de Kepler

a) Para un satélite en órbita circular, igualando la fuerza gravitatoria a la centrípeta:$$\frac{G\,M\,m}{r^2} = \frac{m\,v^2}{r} \quad\Longrightarrow\quad v = \sqrt{\frac{G\,M}{r}}$$La velocidad orbital no depende de la masa del satélite, solo de la del planeta y del radio. Como ambos orbitan al mismo radio $r$ y $M_A = 4\,M_B$:$$\frac{v_A}{v_B} = \sqrt{\frac{M_A}{M_B}} = \sqrt{4} = 2$$$$v_A = 2\,v_B$$El satélite del planeta A se mueve al doble de velocidad. Tiene sentido: el planeta más masivo atrae con más fuerza, y a la misma distancia hace falta ir más rápido para no caer.

b) i) El radio de la órbita es$$r = 4\,R_T = 4\cdot 6{,}37\cdot 10^{6} = 2{,}548\cdot 10^{7}\ \text{m}$$Del mismo balance de fuerzas se obtiene el periodo (tercera ley de Kepler):$$T = 2\pi\sqrt{\frac{r^3}{G\,M_T}}$$Con $G\,M_T = 6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 5{,}98\cdot 10^{24} = 3{,}989\cdot 10^{14}\ \text{m}^3\,\text{s}^{-2}$ y $r^3 = 1{,}654\cdot 10^{22}\ \text{m}^3$:$$T = 2\pi\sqrt{\frac{1{,}654\cdot 10^{22}}{3{,}989\cdot 10^{14}}} = 2\pi\sqrt{4{,}147\cdot 10^{7}} = 2\pi\cdot 6440$$$$T = 4{,}05\cdot 10^{4}\ \text{s} = 11{,}2\ \text{horas}$$b) ii) La energía necesaria es la diferencia entre la energía mecánica final (en órbita) y la inicial (en la superficie).

En órbita, la energía mecánica de un satélite en trayectoria circular es$$E_{\text{órbita}} = -\frac{G\,M_T\,m}{2\,r}$$(el conocido resultado $E = E_p/2$, porque $E_c = -E_p/2$).

En la superficie, despreciando la rotación terrestre el satélite está en reposo, así que solo tiene energía potencial:$$E_{\text{superficie}} = -\frac{G\,M_T\,m}{R_T}$$La energía que hay que aportar es la diferencia:$$\Delta E = E_{\text{órbita}} - E_{\text{superficie}} = G\,M_T\,m\left(\frac{1}{R_T} - \frac{1}{2\,r}\right)$$Sustituyendo, con $G\,M_T\,m = 3{,}989\cdot 10^{14}\cdot 800 = 3{,}191\cdot 10^{17}$:$$\frac{1}{R_T} = \frac{1}{6{,}37\cdot 10^{6}} = 1{,}570\cdot 10^{-7} \qquad \frac{1}{2\,r} = \frac{1}{5{,}096\cdot 10^{7}} = 1{,}962\cdot 10^{-8}$$$$\Delta E = 3{,}191\cdot 10^{17}\cdot(1{,}570\cdot 10^{-7} - 1{,}962\cdot 10^{-8}) = 3{,}191\cdot 10^{17}\cdot 1{,}374\cdot 10^{-7}$$$$\Delta E = 4{,}38\cdot 10^{10}\ \text{J}$$El resultado es positivo, como debe ser: hay que suministrar energía para subir el satélite y ponerlo en movimiento.