Satélites, órbitas y leyes de Kepler

a) Una vez lanzado, sobre el objeto solo actúa la fuerza gravitatoria, que es conservativa: su energía mecánica se conserva. Salir de la influencia del campo significa llegar a una distancia infinita ($r\to\infty$, donde $E_p = 0$). La velocidad mínima es la que permite llegar allí con velocidad nula, es decir, con $E_m(\infty) = 0 + 0 = 0$. Igualando la energía mecánica en la superficie ($E_c = \tfrac12 mv_e^2$, $E_p = -GMm/R$) con la del infinito:$$\tfrac12 mv_e^2 - \frac{GMm}{R} = 0\Rightarrow \boxed{v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}}$$Si la energía mecánica es negativa, el objeto no escapa (queda ligado al planeta). La velocidad de escape no depende de la masa del objeto.

b) En la órbita circular, la fuerza gravitatoria es la fuerza centrípeta:$$\frac{GM_Tm}{r^2} = m\frac{v^2}{r}\ \Rightarrow\ r = \frac{GM_T}{v^2}$$Radio de la órbita:$$r = \frac{GM}{v^2} = \frac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot5{,}97\cdot10^{24}}{(7611{,}9)^2} = 6{,}87\cdot10^{6}\ \text{m}$$Energía potencial:

(el satélite está a $r - R_T \approx 5{,}0\cdot10^{5}\,\text{m} = 500\,\text{km}$ de altura). Energía potencial:$$E_p = -\frac{GM_Tm}{r} = -\frac{3{,}98\cdot10^{14}\cdot1400}{6{,}87\cdot10^{6}} = -8{,}11\cdot10^{10}\ \text{J}$$Equivalentemente, sustituyendo $GM_T/r = v^2$: $E_p = -mv^2 = -1400\cdot7611{,}9^2 = -8{,}11\cdot10^{10}\,\text{J}$ (el doble, cambiado de signo, de la energía cinética).