Mecánica: dinámica, energía y trabajo

a.i) No se puede asegurar. El trabajo de una fuerza constante es$$W = \vec F\cdot\Delta\vec r = F\,\Delta r\cos\alpha$$donde $\alpha$ es el ángulo entre la fuerza y el desplazamiento. Aunque la partícula se desplace ($\Delta r\neq0$), si la fuerza es perpendicular al desplazamiento ($\alpha = 90^\circ$, $\cos\alpha = 0$) el trabajo es nulo. Ejemplos: la normal sobre un cuerpo que desliza por un plano horizontal, o la fuerza gravitatoria sobre un satélite en órbita circular (o la magnética sobre una carga en movimiento), que realizan trabajo cero. Solo si $\alpha\neq90^\circ$ la fuerza realiza trabajo (positivo si $\alpha<90^\circ$, negativo si $\alpha>90^\circ$).

a.ii) Si la única fuerza que actúa es conservativa, su trabajo cumple a la vez el teorema de las fuerzas vivas y la definición de energía potencial:$$W_c = \Delta E_c \qquad\text{y}\qquad W_c = -\Delta E_p \;\Rightarrow\; \Delta E_c = -\Delta E_p\quad(E_m = \text{cte})$$La partícula parte del reposo ($E_{c,0}=0$) y empieza a moverse, así que su energía cinética aumenta ($\Delta E_c>0$): la fuerza hace trabajo positivo (el movimiento se produce en el sentido de la fuerza). En consecuencia $\Delta E_p = -\Delta E_c<0$: su energía potencial disminuye. Los cuerpos abandonados a una fuerza conservativa se mueven espontáneamente hacia donde su energía potencial es menor (p. ej. un cuerpo que cae: pierde $E_p$ gravitatoria y gana la misma cantidad de $E_c$).

b.i) Trabajo de la fuerza aplicada:$$W_F = F\,d = 200\cdot 5 = 1000\ \text{J}$$b.ii) La fuerza $F$ es paralela al plano, así que no modifica la normal: $N = mg\cos30^\circ$ y el rozamiento vale$$F_r = \mu\,mg\cos30^\circ = 0{,}2\cdot3\cdot9{,}8\cdot0{,}866 = 5{,}09\ \text{N}$$(hacia abajo del plano, opuesto al movimiento). Al recorrer $d = 5\,\text{m}$ el objeto sube $h = d\,\text{sen}\,30^\circ = 2{,}5\,\text{m}$. Balance energético: el trabajo de las fuerzas no conservativas ($F$ y rozamiento) es igual a la variación de energía mecánica:$$W_F + W_{F_r} = \Delta E_c + \Delta E_p \;\Rightarrow\; F\,d - F_r\,d = \tfrac12 m v^2 + mgh$$$$1000 - 5{,}09\cdot5 = \tfrac12\cdot3\,v^2 + 3\cdot9{,}8\cdot2{,}5 \;\Rightarrow\; 1000 - 25{,}5 - 73{,}5 = 901\ \text{J} = \tfrac32 v^2$$$$v = \sqrt{\frac{2\cdot 901}{3}} = 24{,}5\ \text{m s}^{-1}$$