Campo y potencial gravitatorio

a) Para una masa puntual $M$:

• Las líneas de campo son rectas radiales dirigidas hacia la masa (el campo gravitatorio es siempre atractivo), que convergen todas en ella. Su densidad disminuye al alejarnos, reflejando que el campo se debilita como $1/r^2$.
• Las superficies equipotenciales son esferas concéntricas centradas en $M$, ya que el potencial $V = -GM/r$ depende solo de la distancia. En un dibujo plano se representan como circunferencias concéntricas.

Ambas familias son perpendiculares entre sí en todo punto, como ocurre siempre entre líneas de campo y superficies equipotenciales. Ésa es la razón de que el trabajo al desplazarse sobre una equipotencial sea nulo: la fuerza es perpendicular al desplazamiento.

a) i) No pueden cortarse. El campo gravitatorio en cada punto del espacio tiene un valor único y bien definido: un solo módulo, una sola dirección y un solo sentido. La línea de campo es, por definición, la curva tangente al vector $\vec{g}$ en cada punto.

Si dos líneas se cortasen en un punto, en él habría dos tangentes distintas, es decir, dos direcciones posibles para el campo. Eso es imposible, porque el campo es una función unívoca de la posición.

a) ii) El potencial creado por una masa puntual es$$V = -\frac{G\,M}{r}$$una cantidad siempre negativa. Al aumentar $r$, el valor absoluto $GM/r$ disminuye, así que $V$ se hace menos negativo, es decir, aumenta, tendiendo a cero en el infinito:$$r \to \infty \;\Longrightarrow\; V \to 0^-$$Merece la pena decirlo con cuidado, porque es fuente habitual de confusión: el potencial aumenta (se acerca a cero desde valores negativos) mientras que su valor absoluto disminuye. Y el sentido físico es el correcto: las masas se mueven espontáneamente hacia potenciales decrecientes, es decir, hacia la masa $M$, que es lo que se observa.

b) i) Calculamos por separado la contribución de cada masa en $C(0,-1)$.

Campo de $m_1$ (en $A(-3,0)$). El vector que va de $C$ hacia $A$ es$$\vec{r}_{CA} = (-3 - 0,\ 0 - (-1)) = (-3,\ 1) \qquad r_1 = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10} = 3{,}162\ \text{m}$$El módulo del campo, y su descomposición en el unitario $(-3,1)/3{,}162 = (-0{,}9487;\ 0{,}3162)$:$$|\vec{g}_1| = \frac{G\,m_1}{r_1^2} = \frac{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 2}{10} = 1{,}334\cdot 10^{-11}\ \text{m}\,\text{s}^{-2}$$$$\vec{g}_1 = 1{,}334\cdot 10^{-11}\,(-0{,}9487;\ 0{,}3162) = (-1{,}266\cdot 10^{-11};\ 4{,}218\cdot 10^{-12})$$Campo de $m_2$ (en $B(0,1)$). El vector de $C$ hacia $B$ es$$\vec{r}_{CB} = (0 - 0,\ 1 - (-1)) = (0,\ 2) \qquad r_2 = 2\ \text{m}$$$$|\vec{g}_2| = \frac{G\,m_2}{r_2^2} = \frac{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 4}{4} = 6{,}67\cdot 10^{-11}\ \text{m}\,\text{s}^{-2}$$Este campo es puramente vertical, hacia arriba (hacia $B$):$$\vec{g}_2 = (0;\ 6{,}67\cdot 10^{-11})$$Campo total. Sumando componente a componente:$$g_x = -1{,}266\cdot 10^{-11} + 0 = -1{,}27\cdot 10^{-11}$$$$g_y = 4{,}218\cdot 10^{-12} + 6{,}67\cdot 10^{-11} = 7{,}09\cdot 10^{-11}$$$$\vec{g} = (-1{,}27\cdot 10^{-11}\,\vec{i} + 7{,}09\cdot 10^{-11}\,\vec{j})\ \ \text{m}\,\text{s}^{-2}$$$$|\vec{g}| = \sqrt{(1{,}27\cdot 10^{-11})^2 + (7{,}09\cdot 10^{-11})^2} = 7{,}20\cdot 10^{-11}\ \text{m}\,\text{s}^{-2}$$El campo apunta claramente hacia arriba y ligeramente a la izquierda, como cabía esperar: domina la masa $m_2$, que es el doble de grande y está más cerca.

b) ii) La fuerza sobre la masa $m_3$ es simplemente el campo multiplicado por ella:$$\vec{F} = m_3\,\vec{g} = 0{,}5\cdot(-1{,}27\cdot 10^{-11};\ 7{,}09\cdot 10^{-11})$$$$\vec{F} = (-6{,}33\cdot 10^{-12}\,\vec{i} + 3{,}55\cdot 10^{-11}\,\vec{j})\ \ \text{N}$$$$|\vec{F}| = 0{,}5\cdot 7{,}20\cdot 10^{-11} = 3{,}60\cdot 10^{-11}\ \text{N}$$La fuerza tiene, lógicamente, la misma dirección y sentido que el campo: el campo gravitatorio es la fuerza por unidad de masa, y $m_3$ es positiva.