FísicaMedioProblema · 2,5 pts

Satélites, órbitas y leyes de Kepler

Andalucía · 2022 · Reserva 2 · Opción A

Enunciado

a) Dos satélites artificiales describen órbitas circulares alrededor de un planeta de masa

M

de forma que el radio de la órbita del primer satélite es cuatro veces mayor que el radio de la órbita del segundo. Responda razonadamente: i) ¿Qué relación existe entre las velocidades orbitales de ambos satélites? ii) ¿Qué relación existe entre sus períodos orbitales?

b) Un satélite de

600\,\text{kg}

se encuentra en órbita a una altura de

630\,\text{km}

sobre la superficie terrestre. Calcule razonadamente: i) la velocidad a la que orbita y ii) la energía mecánica del satélite en su órbita.

Datos:

G = 6{,}67\cdot 10^{-11}\,\text{N}\,\text{m}^2\,\text{kg}^{-2}

;

M_T = 5{,}98\cdot 10^{24}\,\text{kg}

;

R_T = 6370\,\text{km}

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;v_2 = 2\,v_1\qquad T_1 = 8\,T_2\;}

\boxed{\;v = 7{,}55\cdot 10^{3}\ \text{m}\,\text{s}^{-1}\qquad E = -1{,}71\cdot 10^{10}\ \text{J}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

En a) basta con las dos dependencias básicas:

v \propto 1/\sqrt{r}

T \propto r^{3/2}

. El factor

4

del radio se convierte en

2

para la velocidad (raíz) y en

8

para el periodo (potencia

3/2

).

En b) lo primero es el radio de la órbita, que es la altura más el radio terrestre. Los números están elegidos para que salga redondo:

6370 + 630 = 7000\,\text{km}

Desarrollo

a) i) Igualando la fuerza gravitatoria a la centrípeta:

\frac{G M m}{r^2} = \frac{m v^2}{r} \quad\Longrightarrow\quad v = \sqrt{\frac{G M}{r}} \quad\Longrightarrow\quad v \propto \frac{1}{\sqrt{r}}

Con

r_1 = 4\,r_2

\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{\frac{r_2}{r_1}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2} \qquad\Longrightarrow\qquad v_2 = 2\,v_1

El satélite de la órbita interior se mueve al doble de velocidad.

a) ii) De la tercera ley de Kepler,

T^2 = \dfrac{4\pi^2}{GM}r^3

, es decir,

T \propto r^{3/2}

\frac{T_1}{T_2} = \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^{3/2} = 4^{3/2} = 8

T_1 = 8\,T_2

El satélite exterior tarda ocho veces más en dar una vuelta.

b) i) Radio de la órbita, medido desde el centro de la Tierra:

r = R_T + h = 6370 + 630 = 7000\ \text{km} = 7\cdot 10^{6}\ \text{m}

Con

G M_T = 6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 5{,}98\cdot 10^{24} = 3{,}99\cdot 10^{14}

v = \sqrt{\frac{G M_T}{r}} = \sqrt{\frac{3{,}99\cdot 10^{14}}{7\cdot 10^{6}}} = \sqrt{5{,}70\cdot 10^{7}}

v = 7{,}55\cdot 10^{3}\ \text{m}\,\text{s}^{-1}

b) ii) Energía mecánica de una órbita circular:

E = E_c + E_p = \frac{G M_T m}{2r} - \frac{G M_T m}{r} = -\frac{G\,M_T\,m}{2\,r}

E = -\frac{3{,}99\cdot 10^{14}\cdot 600}{2\cdot 7\cdot 10^{6}}

E = -1{,}71\cdot 10^{10}\ \text{J}

Negativa, como corresponde a un satélite ligado al campo gravitatorio terrestre: su valor absoluto es la energía que habría que aportarle para que escapara.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Los exponentes son distintos en los dos apartados: la velocidad va con $r^{-1/2}$ y el periodo con $r^{3/2}$ . Por eso el mismo factor $4$ produce un $2$ y un $8$ .

Y en b) el radio de la órbita es $R_T + h = 7000\,\text{km}$ , no los $630\,\text{km}$ de altura. Es el error más frecuente y aquí se detecta fácil: los números salen redondos solo si sumas.