Satélites, órbitas y leyes de Kepler

a.i) En una órbita circular la fuerza gravitatoria es la fuerza centrípeta:$$\frac{GMm}{r^2} = m\,\frac{v^2}{r}\;\Rightarrow\; v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$$La velocidad orbital no depende de la masa del satélite y es inversamente proporcional a $\sqrt r$: $\dfrac{v_r}{v_{2r}} = \sqrt{\dfrac{2r}{r}} = \sqrt2$. El satélite de la órbita de radio $r$ se desplaza más rápido ($\sqrt2$ veces más).

a.ii) La energía potencial gravitatoria (origen en el infinito) es$$E_p = -\frac{GMm}{r}\;\Rightarrow\; E_p(r) = -\frac{GMm}{r},\qquad E_p(2r) = -\frac{GMm}{2r}$$Como las masas son iguales, $E_p(2r) = \tfrac12E_p(r)$: es negativa pero de menor valor absoluto, luego mayor. El satélite de la órbita de radio $2r$ tiene mayor energía potencial (habría que hacer trabajo contra la gravedad para subirlo de $r$ a $2r$).

b.i) Con $r=2{,}4\cdot10^{7}\,\text{m}$ y $T = 31\cdot3600 = 1{,}116\cdot10^{5}\,\text{s}$:$$M = \frac{4\pi^2 r^3}{G T^2} = \frac{4\pi^2\,(2{,}4\cdot10^{7})^3}{6{,}67\cdot10^{-11}\,(1{,}116\cdot10^{5})^2} = 6{,}57\cdot10^{23}\ \text{kg}$$b.ii) $E_c = GMm/(2r)$. Al pasar de $r_1 = 2{,}4\cdot10^7$ a $r_2 = 1{,}0\cdot10^7\,\text{m}$:$$E_{c1} = \frac{GMm}{2r_1} = \frac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot6{,}57\cdot10^{23}\cdot500}{2\cdot2{,}4\cdot10^{7}} = 4{,}56\cdot10^{8}\ \text{J}$$$$E_{c2} = \frac{GMm}{2r_2} = \frac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot6{,}57\cdot10^{23}\cdot500}{2\cdot1{,}0\cdot10^{7}} = 1{,}10\cdot10^{9}\ \text{J}$$$$\Delta E_c = E_{c2}-E_{c1} = \frac{GMm}{2}\left(\frac{1}{r_2}-\frac{1}{r_1}\right) = 6{,}4\cdot10^{8}\ \text{J}$$

En la simulación el radio del planeta (3000 km) es inventado, porque el enunciado no lo da: solo cambia el dibujo y las alturas, no los radios de las órbitas ni las energías. Pulsa «① Impulso Δv₁» para bajar a la órbita de $10000\,\text{km}$; la simulación da la variación de energía mecánica, que es la de energía cinética cambiada de signo.