a) Razone: ¿puede ser negativo el trabajo realizado por una fuerza gravitatoria? ¿Puede ser negativa la energía potencial gravitatoria? b) Dos masas m_1 = 200\,\text{kg} y m_2 = 100\,\text{kg} están en el eje Y, en (0,\,0{,}4)\,\text{m} y (0,\,-0{,}4)\,\text{m} respectivamente. Determine el trabajo necesario para desplazar una pequeña masa m_3 = 0{,}1\,\text{kg} sobre el eje X desde A(0{,}3,\,0)\,\text{m} hasta B(0,\,0)\,\text{m}. Comente el signo del trabajo. Dato: G = 6{,}67\cdot10^{-11}\,\text{N m}^2\text{kg}^{-2}.

FísicaMedioProblema · 2,5 pts

Campo y potencial gravitatorio

Andalucía · 2019 · Reserva 3 · Opción A

Enunciado

a) Razone: ¿puede ser negativo el trabajo realizado por una fuerza gravitatoria? ¿Puede ser negativa la energía potencial gravitatoria?

b) Dos masas

m_1 = 200\,\text{kg}

m_2 = 100\,\text{kg}

están en el eje

Y

, en

(0,\,0{,}4)\,\text{m}

(0,\,-0{,}4)\,\text{m}

respectivamente. Determine el trabajo necesario para desplazar una pequeña masa

m_3 = 0{,}1\,\text{kg}

sobre el eje

X

desde

A(0{,}3,\,0)\,\text{m}

hasta

B(0,\,0)\,\text{m}

. Comente el signo del trabajo.

Dato:

G = 6{,}67\cdot10^{-11}\,\text{N m}^2\text{kg}^{-2}

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Resultado

\boxed{\;W = -1{,}0\cdot10^{-9}\ \text{J}\;}

El signo negativo indica que la masa se acerca a las que la atraen: la energía potencial disminuye, el campo realiza un trabajo positivo (

W_{\text{grav}} = +1{,}0\cdot10^{-9}\ \text{J}

) y el desplazamiento es espontáneo; no hace falta aportar energía (el agente externo, si frena la masa, la recibe).

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

El trabajo de la fuerza gravitatoria sí puede ser negativo (cuando alejamos la masa, la fuerza atractiva se opone al movimiento). La energía potencial gravitatoria, con el origen en el infinito, es

E_p = -GMm/r

, siempre negativa. En b) usamos el potencial creado por las dos masas en cada punto,

V = -G\sum m_i/r_i

, y el trabajo externo necesario es

W = \Delta E_p = m_3(V_B - V_A)

Desarrollo

a) La fuerza gravitatoria es conservativa, así que su trabajo entre dos puntos es

W_{A\to B} = -\Delta E_p = E_{p,A} - E_{p,B}

. Como es siempre atractiva, su trabajo depende del sentido del desplazamiento:

Si la masa se acerca a la que crea el campo, la fuerza y el desplazamiento van en el mismo sentido: $E_p$ disminuye y $W>0$ .
Si la masa se aleja (por ejemplo, al lanzar un cuerpo hacia arriba), la fuerza se opone al desplazamiento: $E_p$ aumenta y $W<0$ .

Por tanto, sí puede ser negativo.

La energía potencial gravitatoria de dos masas separadas una distancia

r

, tomando el origen (

E_p=0

) en el infinito, es

E_p = -\frac{G\,M\,m}{r}

que es negativa para cualquier $r$ finito (y tiende a cero en el infinito). El signo negativo refleja que la interacción es atractiva: hay que aportar energía para separar las masas hasta el infinito. Así pues, sí puede ser negativa (con ese origen, lo es siempre). El valor de

E_p

depende del origen elegido; lo que tiene significado físico son sus variaciones.

b) Distancias de cada punto a las masas (

m_1+m_2 = 300\,\text{kg}

En $A(0{,}3,0)$ : $r = \sqrt{0{,}3^2+0{,}4^2} = 0{,}5\,\text{m}$ a cada masa $\Rightarrow V_A = -\dfrac{G\cdot 300}{0{,}5} = -4{,}00\cdot10^{-8}\ \text{J kg}^{-1}$
En $B(0,0)$ : $r = 0{,}4\,\text{m}$ a cada masa $\Rightarrow V_B = -\dfrac{G\cdot 300}{0{,}4} = -5{,}00\cdot10^{-8}\ \text{J kg}^{-1}$

El trabajo necesario (el que realiza un agente externo desplazando la masa sin variar su energía cinética) es igual a la variación de energía potencial, es decir, al trabajo de la fuerza gravitatoria cambiado de signo:

W_{\text{ext}} = \Delta E_p = m_3(V_B - V_A) = 0{,}1\cdot(-5{,}00\cdot10^{-8} + 4{,}00\cdot10^{-8}) = -1{,}0\cdot10^{-9}\ \text{J}

Esquema: masas en el eje Y y puntos A, B en el eje X

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Distingue campo (vector) de potencial (escalar, siempre negativo). Y distingue siempre el trabajo del campo ( $-\Delta E_p$ ) del trabajo necesario o externo ( $+\Delta E_p$ ): tienen el mismo valor y signo contrario.