Campo y potencial gravitatorio

a) Para un satélite de masa $m$ en órbita circular de radio $r$, la fuerza gravitatoria hace de centrípeta:$$\frac{G M_T m}{r^2} = \frac{m v^2}{r} \quad\Longrightarrow\quad E_c = \tfrac{1}{2}m v^2 = \frac{G M_T m}{2\,r}$$i) Con masas iguales, $E_c \propto 1/r$. Como $r_A > r_B$:$$E_{c,A} < E_{c,B}$$Tiene mayor energía cinética el satélite $B$, el de la órbita más baja: cuanto más lejos orbita un satélite, más despacio va.

ii) En la misma órbita, $E_c \propto m$. Como $m_A < m_B$:$$E_{c,A} < E_{c,B}$$De nuevo tiene mayor energía cinética $B$. Aquí los dos llevan la misma velocidad (no depende de $m$), pero $B$ tiene más masa.

b) i) Distancias desde cada masa hasta $C(4,3)$:

• De $A(0,3)$ a $C(4,3)$: el desplazamiento es $(4,0)$, luego $r_{AC} = 4\,\text{m}$, horizontal.
• De $B(4,0)$ a $C(4,3)$: el desplazamiento es $(0,3)$, luego $r_{BC} = 3\,\text{m}$, vertical.

Cada campo apunta desde $C$ hacia su masa:$$g_A = \frac{G\,m_A}{r_{AC}^2} = \frac{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 10}{16} = 4{,}17\cdot 10^{-11}\ \text{N}\,\text{kg}^{-1} \qquad\text{hacia } -\vec{i}$$$$g_B = \frac{G\,m_B}{r_{BC}^2} = \frac{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 5}{9} = 3{,}71\cdot 10^{-11}\ \text{N}\,\text{kg}^{-1} \qquad\text{hacia } -\vec{j}$$En el esquema, desde $C$ sale un vector hacia la izquierda (hacia $A$) y otro hacia abajo (hacia $B$). Al ser perpendiculares:$$\vec{g}_C = -4{,}17\cdot 10^{-11}\,\vec{i} - 3{,}71\cdot 10^{-11}\,\vec{j}\ \ \text{N}\,\text{kg}^{-1}$$$$|\vec{g}_C| = \sqrt{4{,}17^2 + 3{,}71^2}\cdot 10^{-11} = 5{,}58\cdot 10^{-11}\ \text{N}\,\text{kg}^{-1}$$b) ii) Potenciales (escalares) en cada punto. En $C$, con $r_{AC} = 4$ y $r_{BC} = 3$:$$V_C = -G\left(\frac{10}{4} + \frac{5}{3}\right) = -6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 4{,}17 = -2{,}78\cdot 10^{-10}\ \text{J}\,\text{kg}^{-1}$$En $O(0,0)$, con $r_{AO} = 3$ y $r_{BO} = 4$:$$V_O = -G\left(\frac{10}{3} + \frac{5}{4}\right) = -6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 4{,}58 = -3{,}06\cdot 10^{-10}\ \text{J}\,\text{kg}^{-1}$$El trabajo que hay que realizar desde fuera es el incremento de energía potencial:$$W_{\text{ext}} = \Delta E_p = m\,(V_O - V_C) = 4\,\bigl(-3{,}06\cdot 10^{-10} + 2{,}78\cdot 10^{-10}\bigr)$$$$W_{\text{ext}} = 4\cdot(-2{,}78\cdot 10^{-11}) = -1{,}11\cdot 10^{-10}\ \text{J}$$Discusión del signo. Es negativo, y tiene sentido: las distancias son las mismas ($3$ y $4\,\text{m}$) pero intercambiadas, y en $O$ es la masa mayor ($10\,\text{kg}$) la que queda más cerca, así que el potencial en $O$ es menor (más negativo) que el de $C$. La masa se desplazaría hacia allí espontáneamente, empujada por la propia atracción gravitatoria; el agente externo no tiene que tirar de ella, sino frenarla. El trabajo que realiza el campo es el opuesto, $+1{,}11\cdot 10^{-10}\,\text{J}$.