Satélites, órbitas y leyes de Kepler

a) La velocidad orbital es la velocidad (tangente a la trayectoria) que debe tener un satélite para describir una órbita circular estable de radio $r$ alrededor de un astro. En una órbita circular su módulo es constante y la única fuerza que actúa, la gravitatoria, apunta hacia el centro y hace de fuerza centrípeta:$$\frac{GM_Tm}{r^2} = m\frac{v^2}{r}\ \Rightarrow\ v_{\text{orb}} = \sqrt{\frac{GM_T}{r}} = \sqrt{\frac{GM_T}{R_T+h}}$$La masa $m$ del satélite aparece en los dos miembros y se simplifica: la velocidad orbital solo depende de la masa de la Tierra y del radio de la órbita. Por tanto, si están en órbitas del mismo radio, los satélites de $2000\,\text{kg}$ y de $1000\,\text{kg}$ tienen la misma velocidad orbital; ninguna es mayor. (Si las órbitas fueran distintas, iría más rápido el de la órbita más baja, sea cual sea su masa.)

b) $r = 6370+5500 = 11870\,\text{km} = 1{,}187\cdot10^{7}\,\text{m}$.

i) $v_{\text{orb}} = \sqrt{\dfrac{GM}{r}} = \sqrt{\dfrac{3{,}99\cdot10^{14}}{1{,}187\cdot10^{7}}} = 5{,}80\cdot10^{3}\ \text{m s}^{-1}$.

ii) Cae desde $r$ ($v=0$) hasta $R_T$. Solo actúa la gravedad (conservativa) y se conserva la energía mecánica; la masa del satélite se simplifica:$$0 - \frac{GM_Tm}{r} = \frac12 m v^2 - \frac{GM_Tm}{R_T}$$$$v = \sqrt{2GM\left(\frac1{R_T}-\frac1r\right)} = \sqrt{2\cdot3{,}99\cdot10^{14}\,(1{,}57\cdot10^{-7}-8{,}43\cdot10^{-8})} = 7{,}62\cdot10^{3}\ \text{m s}^{-1}$$