FísicaMedioProblema · 2,5 pts

Mecánica: dinámica, energía y trabajo

Andalucía · 2017 · Reserva 4 · Opción A

Enunciado

a) Si sobre una partícula actúan fuerzas conservativas y no conservativas, razone cómo cambian sus energías cinética, potencial y mecánica.

b) Un bloque de

2\,\text{kg}

se lanza hacia arriba por una rampa rugosa (

\mu = 0{,}3

), que forma un ángulo de

30^\circ

con la horizontal, con una velocidad inicial de

6\,\text{m s}^{-1}

. Calcule la altura máxima que alcanza el bloque respecto del suelo.

Dato:

g = 9{,}8\,\text{m s}^{-2}

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Resultado

\boxed{\;h_{\max} = 1{,}21\ \text{m}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

La energía mecánica solo se conserva si no hay fuerzas disipativas: en general

W_{nc} = \Delta E_m

. Las energías cinética y potencial se intercambian; con rozamiento, la mecánica disminuye. En b), la cinética inicial se invierte en subir (

mgh

) y en vencer el rozamiento:

\tfrac12 mv_0^2 = mgh(1+\mu\cot\theta)

Desarrollo

a) Por el teorema de las fuerzas vivas, el trabajo total cambia la energía cinética:

W_{c} + W_{nc} = \Delta E_c

El trabajo de las fuerzas conservativas es igual a menos la variación de la energía potencial,

W_c = -\Delta E_p

. Sustituyendo:

W_{nc} = \Delta E_c + \Delta E_p = \Delta E_m

Energía cinética: varía según el trabajo de todas las fuerzas; aumenta si el trabajo total es positivo y disminuye si es negativo.
Energía potencial: solo la cambian las fuerzas conservativas; disminuye cuando estas hacen trabajo positivo ( $W_c>0$ ) y aumenta cuando lo hacen negativo.
Energía mecánica: ya no se conserva; varía en el trabajo de las fuerzas no conservativas. Si estas son disipativas, como el rozamiento ( $W_{nc}<0$ ), la energía mecánica disminuye (se transforma en calor); si una fuerza externa aporta trabajo positivo, aumenta.

b) Si el bloque recorre una distancia

d

sobre la rampa hasta pararse, sube una altura

h = d\,\text{sen}\,30^\circ

. La normal es

N = mg\cos30^\circ

y el rozamiento,

F_r = \mu mg\cos30^\circ

, hace un trabajo

W_r = -\mu mg\cos30^\circ\, d = -\mu mg\,h\cot30^\circ

. Aplicando

W_{nc} = \Delta E_m

entre la base (

E_c = \tfrac12 mv_0^2

E_p=0

) y el punto más alto (

E_c=0

E_p = mgh

-\mu mg\,h\cot30^\circ = mgh - \tfrac12 mv_0^2\ \Rightarrow\ \tfrac12 mv_0^2 = mgh\,(1+\mu\cot30^\circ)

Altura máxima:

h = \frac{v_0^2}{2g(1+\mu\cot 30^\circ)} = \frac{6^2}{2\cdot9{,}8\,(1+0{,}3\cdot1{,}73)} = \frac{36}{29{,}78} = 1{,}21\ \text{m}

Consejo

La clave es $W_{nc} = \Delta E_m$ : si solo hubiera gravedad, subiría más ( $v_0^2/2g$ ); el rozamiento le "roba" energía y reduce la altura. Cuida el factor $(1+\mu\cot\theta)$ .

Paso 1 de 3

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