Campo y potencial gravitatorio

a) Verdadera. Hay que analizar las dos partes por separado, porque involucran expresiones con signos distintos.

La fuerza aumenta. Su módulo es$$F = \frac{G\,m_1\,m_2}{r^2}$$Al disminuir $r$, el denominador se hace menor y la fuerza crece (con el cuadrado del inverso de la distancia). Cierto.

La energía potencial disminuye. Aquí está el punto delicado:$$E_p = -\frac{G\,m_1\,m_2}{r}$$Es una cantidad siempre negativa. Al disminuir $r$, el valor absoluto $G m_1 m_2/r$ aumenta, luego $E_p$ se hace más negativa, es decir, más pequeña:$$r \downarrow \;\Longrightarrow\; E_p \downarrow \quad(\text{más negativa})$$Por ejemplo, pasar de $E_p = -10\,\text{J}$ a $E_p = -20\,\text{J}$ es una disminución, aunque el valor absoluto haya crecido. También es cierto: la afirmación completa es verdadera.

Y hay coherencia física entre ambas partes: la fuerza gravitatoria es atractiva, así que al acercarse las masas realiza trabajo positivo, y $W = -\Delta E_p > 0$ implica $\Delta E_p < 0$. La energía potencial disminuye porque el sistema está "cayendo" hacia una configuración más ligada.

b) i) El punto donde el campo se anula está entre las dos masas, que es donde sus contribuciones tienen sentidos opuestos. Sea $x$ la distancia desde $A(0,0)$:$$\frac{G\,m_1}{x^2} = \frac{G\,m_2}{(2-x)^2} \quad\Longrightarrow\quad \frac{8}{x^2} = \frac{12}{(2-x)^2}$$$$\frac{(2-x)^2}{x^2} = \frac{12}{8} = 1{,}5 \quad\Longrightarrow\quad \frac{2-x}{x} = \sqrt{1{,}5} = 1{,}2247$$$$2 - x = 1{,}2247\,x \quad\Longrightarrow\quad 2 = 2{,}2247\,x$$$$x = 0{,}899\ \text{m}$$El punto es $(0{,}899;\ 0)\,\text{m}$: está a $0{,}899\,\text{m}$ de $m_1$ y a $1{,}101\,\text{m}$ de $m_2$, es decir, más cerca de la masa menor, como corresponde para que las dos atracciones se compensen.

Comprobación: $8/0{,}899^2 = 9{,}90$ y $12/1{,}101^2 = 9{,}90$ ✓.

b) ii) Calculamos el potencial en $C(2,2)$. Las distancias son:$$r_{AC} = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{8} = 2{,}828\ \text{m} \qquad r_{BC} = 2\ \text{m}$$$$V_C = -G\left(\frac{m_1}{r_{AC}} + \frac{m_2}{r_{BC}}\right) = -6{,}67\cdot 10^{-11}\left(\frac{8}{2{,}828} + \frac{12}{2}\right)$$$$V_C = -6{,}67\cdot 10^{-11}\,(2{,}828 + 6) = -6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 8{,}828$$$$V_C = -5{,}889\cdot 10^{-10}\ \text{J}\,\text{kg}^{-1}$$En el infinito el potencial es nulo por convenio, así que el trabajo de la fuerza gravitatoria al traer la masa desde allí es$$W_{\infty\to C} = m_3\,(V_\infty - V_C) = m_3\,(0 - V_C) = -m_3\,V_C$$$$W_{\infty\to C} = -2\cdot(-5{,}889\cdot 10^{-10})$$$$W_{\infty\to C} = +1{,}18\cdot 10^{-9}\ \text{J}$$Interpretación del signo. El trabajo es positivo, como debe ser: la masa viene desde el infinito atraída por las otras dos, y la gravedad trabaja a favor del movimiento. El sistema pierde energía potencial (pasa de $0$ a un valor negativo) y esa energía se convierte en cinética.