Mecánica: dinámica, energía y trabajo

a) i) Falsa. El campo gravitatorio apunta siempre hacia donde la energía potencial disminuye: es la dirección en la que la fuerza empuja espontáneamente al cuerpo.

• Si la partícula se mueve en la dirección y sentido del campo (es decir, "hacia abajo"), la fuerza gravitatoria realiza trabajo positivo y, como $W = -\Delta E_p$, la energía potencial disminuye. La afirmación dice que aumenta: ahí está el error.
• La segunda parte de la frase sí es correcta: si la partícula se mueve perpendicularmente al campo, la fuerza es perpendicular al desplazamiento, su trabajo es nulo y la energía potencial no varía. Es lo que ocurre al moverse sobre una superficie equipotencial (un plano horizontal, en un campo uniforme).

Como una de las dos partes es incorrecta, la afirmación en conjunto es falsa.

a) ii) Falsa. En el caso del movimiento en el sentido del campo, la fuerza gravitatoria realiza trabajo positivo y, por el teorema de las fuerzas vivas, la energía cinética aumenta:$$\Delta E_c = W = -\Delta E_p > 0$$Es exactamente lo que sucede en una caída libre. Solo en el caso perpendicular el trabajo instantáneo es nulo y la energía cinética no cambia en ese momento.

La afirmación pretende que la energía cinética se conserve en ambos casos, lo cual es incorrecto: en el primero la partícula se acelera claramente.

b) i) En el plano inclinado ($45^\circ$, $\mu_1 = 0{,}1$) actúan tres fuerzas:

• el peso $P = mg = 3\cdot 9{,}8 = 29{,}4\,\text{N}$, vertical y hacia abajo;
• la normal, perpendicular al plano:

$$N_1 = m\,g\cos 45^\circ = 29{,}4\cdot 0{,}7071 = 20{,}79\ \text{N}$$

• el rozamiento, paralelo al plano y hacia arriba (opuesto al descenso):

$$F_{r1} = \mu_1\,N_1 = 0{,}1\cdot 20{,}79 = 2{,}08\ \text{N}$$En la superficie horizontal ($\mu_2 = 0{,}2$) actúan el peso, la normal —que ahora equilibra el peso completo— y el rozamiento, horizontal y opuesto al avance:$$N_2 = m\,g = 29{,}4\ \text{N} \qquad F_{r2} = \mu_2\,N_2 = 0{,}2\cdot 29{,}4 = 5{,}88\ \text{N}$$b) ii) El objeto parte del reposo y acaba en reposo, así que $\Delta E_c = 0$: toda la energía potencial inicial se ha disipado por rozamiento en los dos tramos.$$m\,g\,h = |W_{r1}| + |W_{r2}|$$Energía potencial inicial:$$m\,g\,h = 3\cdot 9{,}8\cdot 1{,}5 = 44{,}1\ \text{J}$$Disipación en el plano. La distancia recorrida sobre el plano es$$d_1 = \frac{h}{\text{sen}\,45^\circ} = \frac{1{,}5}{0{,}7071} = 2{,}12\ \text{m}$$$$|W_{r1}| = F_{r1}\,d_1 = 2{,}08\cdot 2{,}12 = 4{,}41\ \text{J}$$Disipación en el tramo horizontal, de longitud $d$ desconocida:$$|W_{r2}| = F_{r2}\,d = 5{,}88\,d$$Balance:$$44{,}1 = 4{,}41 + 5{,}88\,d \quad\Longrightarrow\quad d = \frac{44{,}1 - 4{,}41}{5{,}88} = \frac{39{,}69}{5{,}88}$$$$d = 6{,}75\ \text{m}$$Se puede comprobar el resultado por el camino largo: al llegar al pie del plano el objeto tiene $44{,}1 - 4{,}41 = 39{,}69\,\text{J}$ de energía cinética, es decir, una velocidad de $v = \sqrt{2\cdot 39{,}69/3} = 5{,}14\,\text{m}\,\text{s}^{-1}$; y recorrer $6{,}75\,\text{m}$ con una fuerza de $5{,}88\,\text{N}$ disipa exactamente esos $39{,}69\,\text{J}$ ✓.