Mecánica: dinámica, energía y trabajo

a) i) Para una masa puntual $M$, a una distancia $r$:

Campo gravitatorio (magnitud vectorial):$$\vec{g} = -\frac{G\,M}{r^2}\,\hat{u}_r$$Potencial gravitatorio (magnitud escalar):$$V = -\frac{G\,M}{r}$$Unidades en el S.I.:

• $\vec{g}$: en $\text{N}\,\text{kg}^{-1}$ (equivalentes a $\text{m}\,\text{s}^{-2}$), fuerza por unidad de masa.
• $V$: en $\text{J}\,\text{kg}^{-1}$, energía potencial por unidad de masa.
• $G$: constante de gravitación universal, en $\text{N}\,\text{m}^2\,\text{kg}^{-2}$.
• $M$: masa que crea el campo, en kilogramos (kg).
• $r$: distancia, en metros (m).

Ambas son negativas (o dirigidas hacia la masa) porque la gravedad es siempre atractiva.

a) ii) El campo es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia:$$\frac{g(2r)}{g(r)} = \frac{G M/(2r)^2}{G M/r^2} = \frac{r^2}{4r^2} = \frac{1}{4}$$$$g(2r) = \frac{g(r)}{4}$$Al duplicar la distancia, el campo se reduce a la cuarta parte. (Conviene contrastarlo con el potencial, que solo se reduce a la mitad, porque va con $1/r$.)

b) i) En la superficie horizontal actúan: el peso $\vec{P}$ (vertical hacia abajo), la normal $\vec{N}$ (vertical hacia arriba, con $N = mg$) y el rozamiento $\vec{F}_r$ (horizontal, opuesto al movimiento).

En el plano inclinado (liso) actúan solo el peso $\vec{P}$ y la normal $\vec{N}$ (perpendicular al plano). No hay rozamiento, y el cuerpo sube por inercia mientras la componente del peso paralela al plano lo frena.

b) ii) En el tramo horizontal, el trabajo del rozamiento es la variación de energía mecánica. Como la altura no cambia, todo se traduce en energía cinética:$$W_{F_r} = -\mu\,m\,g\,d = -0{,}2\cdot 5\cdot 9{,}8\cdot 5 = -49\ \text{J}$$$$\tfrac{1}{2}m v_1^2 = \tfrac{1}{2}m v_0^2 + W_{F_r}$$$$\tfrac{1}{2}\cdot 5\cdot v_1^2 = \tfrac{1}{2}\cdot 5\cdot 6^2 - 49 = 90 - 49 = 41\ \text{J}$$$$v_1^2 = \frac{2\cdot 41}{5} = 16{,}4 \quad\Longrightarrow\quad v_1 = 4{,}05\ \text{m}\,\text{s}^{-1}$$b) iii) En el plano inclinado no hay rozamiento, así que la energía mecánica se conserva. Toda la energía cinética que trae el cuerpo se convierte en potencial hasta detenerse:$$\tfrac{1}{2}m v_1^2 = m\,g\,h \quad\Longrightarrow\quad h = \frac{v_1^2}{2g} = \frac{16{,}4}{2\cdot 9{,}8}$$$$h = 0{,}84\ \text{m}$$(La masa se cancela y el ángulo no interviene: la altura solo depende de la velocidad de llegada. El ángulo haría falta únicamente para saber cuánto recorre sobre el plano, que sería $h/\text{sen}\,30^\circ = 1{,}67\,\text{m}$.)