Campo electromagnético

La ley de Coulomb: de la fuerza al campo

Todo parte de la fuerza entre dos cargas puntuales $q$ y $q'$ separadas una distancia $r$:

Es la gemela de la ley de gravitación de Newton, con dos diferencias: puede ser atractiva o repulsiva, y es muchísimo más intensa (entre un protón y un electrón, unas $10^{39}$ veces más que la gravitatoria). $K$ depende del medio: el valor de siempre, $9\cdot 10^{9}$, es el del vacío. Si se divide la fuerza entre la carga que la sufre, sale una magnitud que ya no depende de ella: el campo, $\vec E = \vec F/q'$.

Las dos magnitudes, una al lado de la otra

Trabajo y energía: el signo

Aquí es donde más nota se pierde. El trabajo que hace el campo al mover una carga $q$ desde $A$ hasta $B$ es

La regla intuitiva funciona si recuerdas de qué signo es la carga que se mueve:

• Una carga positiva «cae» hacia potenciales menores, como una masa cae hacia alturas menores. Ahí el campo hace trabajo positivo.
• Una carga negativa hace justo lo contrario: se mueve espontáneamente hacia potenciales mayores.

Lo que nunca cambia es la formulación energética: todo sistema evoluciona hacia menor energía potencial $E_p = qV$. Con $q>0$ eso significa menor $V$; con $q<0$, mayor $V$.

Una carga suelta en el campo: trayectoria y energía

Entre dos placas paralelas cargadas el campo es uniforme: el mismo módulo y la misma dirección en todos los puntos, de la placa positiva a la negativa. Su módulo sale de la diferencia de potencial entre las placas y de su separación, y con él, la aceleración de la carga:

• Si la carga parte del reposo o entra en la dirección del campo, el movimiento es rectilíneo uniformemente acelerado; si entra con velocidad, se acelera o se frena según que la fuerza $q\vec E$ vaya a favor o en contra de esa velocidad (depende del signo de la carga y del sentido en que entra).
• Si entra perpendicular al campo, describe una parábola, igual que un tiro horizontal: $x = v_0\,t$ a lo largo de las placas e $y = \tfrac12\,a\,t^2$ en la dirección de la fuerza.

Cuando lo que se pide es una velocidad, casi siempre es más corto el camino de la energía. La fuerza eléctrica es conservativa: si es la única que actúa, la energía mecánica se conserva y lo que gana la carga en energía cinética es justo el trabajo del campo:

Por ejemplo, un electrón que parte del reposo y atraviesa una diferencia de potencial de $100\,\text{V}$ (hacia potenciales mayores, como le corresponde) sale con $v = \sqrt{2\,|q|\,\Delta V/m} = \sqrt{2\cdot 1{,}6\cdot 10^{-19}\cdot 100/(9{,}1\cdot 10^{-31})} \approx 5{,}9\cdot 10^{6}\ \text{m}\,\text{s}^{-1}$.

Líneas de campo y superficies equipotenciales

Las líneas de campo dibujan $\vec E$: son tangentes al campo en cada punto, salen de las cargas positivas y acaban en las negativas (o en el infinito), nunca se cortan —en cada punto el campo tiene una sola dirección— y se apiñan donde el campo es más intenso. Las superficies equipotenciales unen los puntos con el mismo $V$: alrededor de una carga puntual son esferas centradas en ella; en un campo uniforme, planos perpendiculares a él.

• Las líneas de campo son perpendiculares a las equipotenciales y apuntan hacia potenciales decrecientes.
• Mover una carga sobre una misma equipotencial no cuesta trabajo: como $V_A = V_B$, $W = q\,(V_A - V_B) = 0$, sea cual sea el camino.

Míralo

Errores frecuentes

Recogidos de los consejos de los 33 problemas de este apartado.

• Sumar los potenciales en valor absoluto, o sumarlos vectorialmente. Se suman como escalares con su signo.
• Suponer que donde $V=0$ también $\vec E=0$. Son independientes.
• Con cargas negativas, arrastrar la intuición de las positivas: se mueven hacia potenciales mayores.
• No dejar claro qué trabajo se está dando, el del campo o el externo. Son iguales y de signo opuesto, y el enunciado siempre pide uno de los dos.
• Al calcular el ángulo entre dos vectores campo, usar el ángulo con el eje en vez del ángulo entre ellos.

La fuerza de Lorentz

Los dos casos extremos son los que caen en los exámenes:

¿Y si la velocidad forma un ángulo cualquiera con $\vec B$? Se descompone: la parte paralela, $v\cos\theta$, no nota fuerza y se conserva; la perpendicular, $v\,\text{sen}\,\theta$, describe la circunferencia. La suma de los dos movimientos es una hélice de radio $r = m\,v\,\text{sen}\,\theta/(|q|B)$ que avanza a lo largo de las líneas de campo.

En el movimiento circular, igualando la fuerza magnética a la centrípeta:

El selector de velocidades

Si se cruzan un campo eléctrico y uno magnético, una partícula puede atravesarlos sin desviarse cuando las dos fuerzas se cancelan:

Fuerza sobre un conductor con corriente

Una corriente son cargas en movimiento, así que un hilo dentro de un campo magnético sufre la suma de las fuerzas de Lorentz sobre todas ellas. Para un tramo recto de longitud $L$ en un campo uniforme:

Las reglas son las mismas que con una carga, con la corriente en el papel de la velocidad: un hilo paralelo al campo no nota fuerza; uno perpendicular nota la máxima, $ILB$, y el sentido lo da el producto vectorial. Aquí no hay signo de carga que vigilar: $I$ es positiva y el sentido ya va en $\vec L$. Es la base del motor eléctrico, y también de la fuerza entre dos hilos que viene a continuación: cada uno está sumergido en el campo que crea el otro.

Campos creados por corrientes

Un hilo recto muy largo crea a su alrededor circunferencias de campo, con módulo

Con dos hilos paralelos aparecen los dos cálculos que los exámenes suelen mezclar:

Espiras y solenoides

Doblando el hilo en una circunferencia de radio $R$ el campo se concentra. En el centro de una espira y en el interior de un solenoide largo (una bobina de $N$ espiras enrolladas a lo largo de una longitud $L$) vale:

El sentido, otra vez con la mano derecha: los dedos siguen la corriente y el pulgar marca $\vec B$ en el centro. Una corriente antihoraria vista desde arriba da un campo hacia arriba. Dentro del solenoide el campo es prácticamente uniforme —por eso se usa para crear campos uniformes— y fuera, casi nulo. Por ejemplo, 500 espiras en $20\,\text{cm}$ con $2\,\text{A}$ dan $B = 4\pi\cdot 10^{-7}\cdot 500\cdot 2/0{,}2 = 6{,}3\cdot 10^{-3}\ \text{T}$.

Errores frecuentes

Recogidos de los consejos de los 32 problemas de este apartado.

• Responder que si la energía cinética no cambia, no hay aceleración. La hay: es centrípeta.
• Con un electrón, olvidar que la carga negativa invierte el sentido de $\vec v\times\vec B$. Y si además hay campo eléctrico, son dos cambios de signo encadenados.
• Usar $1/d^2$ en la fuerza entre conductores. Va con $1/d$.
• Confundir el punto donde se anula el campo con el cálculo de la fuerza entre los hilos. Son preguntas distintas.
• Dar el módulo del campo pero no su sentido, cuando el enunciado lo pide explícitamente («razone, con ayuda de un esquema…»).

Las tres maneras de que cambie el flujo

Mira la fórmula: solo hay tres cosas que puedan variar con el tiempo. Todo problema de inducción de Selectividad es una de estas tres, o una combinación:

La ley de Lenz: el signo menos

Ese menos de la fórmula no está para «poner un número negativo». Es una afirmación física: la corriente inducida circula en el sentido que se opone al cambio que la ha producido.

• Si el flujo aumenta, la corriente crea un campo opuesto al aplicado, para frenar ese aumento.
• Si el flujo disminuye, lo crea a favor, tratando de mantenerlo.

Es una consecuencia de la conservación de la energía: si fuese al revés, el sistema se autoalimentaría. Por eso, además, siempre hay que hacer fuerza para mover un imán frente a una espira, y ese trabajo es el que reaparece como energía eléctrica.

Míralo: la espira que gira

Errores frecuentes

Recogidos de los consejos de los 37 problemas de este apartado.

• Creer que basta con que haya campo. Lo que induce es que el flujo cambie.
• Usar el ángulo que forma $\vec B$ con el plano de la espira en vez de con su normal. Si el enunciado lo da con el plano, hay que restarlo de 90°.
• Olvidar el número de espiras $N$ en una bobina. Con $N = 1000$, el resultado cambia en tres órdenes de magnitud.
• Confundir seno con coseno por no leer la condición inicial («el flujo es máximo», «la espira está en el plano XY»).
• Evaluar los ángulos en grados en vez de radianes.
• Usar el signo menos de Faraday como un número, en vez de para razonar el sentido por Lenz.

Si tuvieras que quedarte con seis frases del bloque entero, serían éstas:

1. El campo es un vector y se suma por componentes; el potencial es un escalar y se suma con su signo. Que uno sea cero no dice nada del otro.
2. Las cargas positivas «caen» hacia potenciales menores; las negativas, hacia mayores. Lo que siempre disminuye es $E_p = qV$.
3. La fuerza magnética es perpendicular a la velocidad, así que nunca hace trabajo: no cambia la rapidez, solo curva.
4. En el movimiento circular el radio depende de la velocidad, pero el periodo no.
5. Lo que induce corriente no es el campo, sino la variación del flujo, que puede venir del área, del ángulo o del propio campo.
6. El signo menos de Faraday es la ley de Lenz: la corriente inducida se opone siempre al cambio que la produce.