Campo y potencial eléctrico

a) i) Falsa. Un campo uniforme es aquel cuyo vector $\vec{E}$ tiene el mismo módulo, dirección y sentido en todos los puntos. Eso no significa en absoluto que el potencial sea constante: la relación entre ambos es$$\vec{E} = -\vec{\nabla}V \qquad\text{o, en una dimensión,}\qquad E = -\frac{dV}{dx}$$Si $E$ es una constante no nula, entonces $V$ varía linealmente con la posición:$$V(x) = V_0 - E\,x$$De hecho, un potencial constante implicaría $\vec{E} = \vec{0}$: sería el caso de un campo nulo, no de un campo uniforme. Lo que sí es cierto es que las superficies equipotenciales son planos paralelos entre sí y perpendiculares al campo.

a) ii) Falsa. Está invertido. Sobre una carga negativa, la fuerza tiene sentido opuesto al campo:$$\vec{F} = q\,\vec{E} \quad\text{con } q < 0 \quad\Longrightarrow\quad \vec{F} \text{ antiparalela a } \vec{E}$$Y como el campo apunta siempre hacia potenciales decrecientes, la fuerza sobre la carga negativa apunta hacia potenciales crecientes. Una carga negativa abandonada en reposo se mueve, por tanto, hacia donde el potencial aumenta.

El criterio general y seguro es energético: todo sistema evoluciona espontáneamente hacia menor energía potencial, $E_p = qV$. Para $q > 0$ eso significa menor $V$; para $q < 0$, mayor $V$. Las cargas positivas "caen" hacia potenciales bajos y las negativas hacia potenciales altos.

b) i) El trabajo que hay que hacer desde fuera para traer la carga desde el infinito es igual a la variación de energía potencial del sistema:$$W_{\text{externo}} = \Delta E_p = E_p(P_2) - E_p(\infty) = \frac{K\,q_1\,q_2}{r} - 0$$La distancia entre $P_1(-2,0)$ y $P_2(2,0)$ es $r = 4\,\text{m}$:$$W_{\text{externo}} = \frac{9\cdot 10^{9}\cdot 4\cdot 10^{-6}\cdot 4\cdot 10^{-6}}{4} = \frac{0{,}144}{4}$$$$W_{\text{externo}} = +0{,}036\ \text{J}$$Interpretación del signo. El trabajo es positivo, lo que significa que hay que aportar energía desde el exterior. Es lo esperable: las dos cargas son del mismo signo y se repelen, así que acercarlas exige vencer esa repulsión. Esos $0{,}036\,\text{J}$ quedan almacenados como energía potencial del sistema, y se recuperarían íntegramente si se soltase la carga y se dejase escapar al infinito.

(El trabajo de la fuerza eléctrica sería el mismo con signo cambiado: $-0{,}036\,\text{J}$.)

b) ii) El punto $P_3(0,3)$ equidista de ambas cargas:$$r = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{13} = 3{,}606\ \text{m}$$Cada carga crea allí un campo del mismo módulo:$$|\vec{E}_1| = |\vec{E}_2| = \frac{K\,q}{r^2} = \frac{9\cdot 10^{9}\cdot 4\cdot 10^{-6}}{13} = 2769\ \text{N}\,\text{C}^{-1}$$Los dos campos se alejan de sus cargas (ambas positivas). Descomponiendo:

• El de $q_1$ va en la dirección de $P_1 \to P_3 = (2,3)$, con vector unitario $(2,3)/3{,}606 = (0{,}5547;\ 0{,}8321)$:

$$\vec{E}_1 = 2769\,(0{,}5547;\ 0{,}8321) = (1536;\ 2304)\ \text{N}\,\text{C}^{-1}$$

• El de $q_2$ va en la dirección de $P_2 \to P_3 = (-2,3)$:

$$\vec{E}_2 = 2769\,(-0{,}5547;\ 0{,}8321) = (-1536;\ 2304)\ \text{N}\,\text{C}^{-1}$$Al sumar, las componentes horizontales se cancelan (por la simetría) y las verticales se suman:$$\vec{E} = (0;\ 4608)\ \text{N}\,\text{C}^{-1}$$$$|\vec{E}| = 4{,}61\cdot 10^{3}\ \text{N}\,\text{C}^{-1}\quad\text{dirigido según } +Y$$El resultado es coherente con la simetría del problema: $P_3$ está en la mediatriz del segmento que une las dos cargas iguales, y sobre esa recta el campo solo puede ser perpendicular al segmento.