Campo y potencial eléctrico

a) i) El módulo del campo creado por una carga puntual es$$E = \frac{K\,Q}{r^2}$$A distancia $2r$:$$E(2r) = \frac{K Q}{(2r)^2} = \frac{K Q}{4 r^2} = \frac{E(r)}{4}$$$$\boxed{E(2r) = \tfrac{1}{4}\,E(r)}$$Al duplicar la distancia el campo se reduce a la cuarta parte, porque depende del inverso del cuadrado.

a) ii) La energía potencial de la carga $q$ en el campo de $Q$, con la referencia $V_\infty = 0$, es$$E_p = q\,V = \frac{K\,Q\,q}{r}$$que depende del inverso de la distancia (no de su cuadrado). Por tanto:$$E_p(2r) = \frac{K Q q}{2r} = \frac{E_p(r)}{2}$$$$\boxed{E_p(2r) = \tfrac{1}{2}\,E_p(r)}$$Al duplicar la distancia, la energía potencial se reduce a la mitad, no a la cuarta parte.

b) i) Sobre la partícula actúan dos fuerzas: el peso $\vec{P} = m\vec{g}$, vertical y hacia abajo, y la fuerza eléctrica $\vec{F} = q\vec{E}$.

En el esquema, ambas se dibujan sobre la partícula: el peso apuntando hacia abajo y la fuerza eléctrica hacia arriba, de igual longitud (están equilibradas).

Para que la partícula quede suspendida, la fuerza eléctrica debe apuntar hacia arriba. Como el campo $\vec{E}$ apunta hacia abajo, la única forma de que $q\vec{E}$ apunte hacia arriba es que la carga sea negativa.

Imponiendo el equilibrio, $|q|\,E = m\,g$:$$|q| = \frac{m\,g}{E} = \frac{5\cdot 10^{-3}\cdot 9{,}8}{100} = \frac{4{,}9\cdot 10^{-2}}{100}$$$$|q| = 4{,}9\cdot 10^{-4}\ \text{C} \qquad\Longrightarrow\qquad q = -4{,}9\cdot 10^{-4}\ \text{C}$$b) ii) Si se duplica el valor de la carga, $|q'| = 9{,}8\cdot 10^{-4}\,\text{C}$, la fuerza eléctrica se duplica mientras el peso sigue igual:$$F_{\text{eléctrica}} = |q'|\,E = 9{,}8\cdot 10^{-4}\cdot 100 = 9{,}8\cdot 10^{-2}\ \text{N (hacia arriba)}$$$$P = m\,g = 5\cdot 10^{-3}\cdot 9{,}8 = 4{,}9\cdot 10^{-2}\ \text{N (hacia abajo)}$$$$F_{\text{neta}} = 9{,}8\cdot 10^{-2} - 4{,}9\cdot 10^{-2} = 4{,}9\cdot 10^{-2}\ \text{N (hacia arriba)}$$La partícula asciende. Aplicando el teorema de las fuerzas vivas al recorrido de $d = 0{,}10\,\text{m}$, partiendo del reposo:$$W_{\text{neto}} = F_{\text{neta}}\,d = \tfrac{1}{2}m v^2$$$$4{,}9\cdot 10^{-2}\cdot 0{,}10 = 4{,}9\cdot 10^{-3}\ \text{J} = \tfrac{1}{2}\cdot 5\cdot 10^{-3}\cdot v^2$$$$v = \sqrt{\frac{2\cdot 4{,}9\cdot 10^{-3}}{5\cdot 10^{-3}}} = \sqrt{1{,}96}$$$$v = 1{,}4\ \text{m}\,\text{s}^{-1}$$