Inducción electromagnética

a) El flujo a través de la espira es$$\Phi = B\,S\cos\theta$$donde $\theta$ es el ángulo entre $\vec{B}$ y el vector superficie $\vec{S}$ (perpendicular al plano de la espira).

i) Campo paralelo al eje de rotación. El eje de giro es un diámetro, que está contenido en el plano de la espira. Si $\vec{B}$ es paralelo a ese eje, también está contenido en el plano de la espira y, por tanto, es perpendicular al vector superficie en todo instante, por mucho que la espira gire:$$\theta = 90^\circ \ \text{siempre} \quad\Longrightarrow\quad \Phi = B\,S\cos 90^\circ = 0$$El flujo es constante e igual a cero, así que$$\varepsilon = -\frac{d\Phi}{dt} = 0$$No se induce fuerza electromotriz. La rotación no cambia nada porque el vector superficie gira dentro de un plano que siempre contiene a $\vec{B}$.

ii) Campo perpendicular al eje de rotación. Ahora el ángulo entre $\vec{B}$ y el vector superficie sí cambia al girar: si la espira rota con velocidad angular $\omega$, entonces $\theta = \omega t$ y$$\Phi(t) = B\,S\cos(\omega t)$$$$\varepsilon(t) = -\frac{d\Phi}{dt} = B\,S\,\omega\,\text{sen}(\omega t)$$Sí se induce fuerza electromotriz, y además es alterna: varía sinusoidalmente con amplitud $BS\omega$ y frecuencia angular $\omega$. Éste es exactamente el principio de funcionamiento de un alternador.

b) i) El área de cada espira es$$S = \pi\,r^2 = \pi\,(0{,}05)^2 = 7{,}854\cdot 10^{-3}\ \text{m}^2$$El enunciado dice que el flujo es máximo en todo instante, lo que significa que el campo se mantiene siempre perpendicular al plano de la bobina ($\cos\theta = 1$). Con $N = 50$ espiras:$$\Phi(t) = N\,B(t)\,S = 50\cdot 7{,}854\cdot 10^{-3}\cdot(0{,}5\,t + 0{,}8\,t^2)$$$$\Phi(t) = 0{,}3927\,(0{,}5\,t + 0{,}8\,t^2)$$$$\Phi(t) = 0{,}196\,t + 0{,}314\,t^2\ \ \text{Wb}$$b) ii) La fuerza electromotriz es la derivada del flujo cambiada de signo:$$\varepsilon(t) = -\frac{d\Phi}{dt} = -(0{,}196 + 0{,}628\,t)$$En $t = 10\,\text{s}$:$$\varepsilon(10) = -(0{,}196 + 0{,}628\cdot 10) = -(0{,}196 + 6{,}283)$$$$\varepsilon(10) = -6{,}48\ \text{V} \qquad\Longrightarrow\qquad |\varepsilon| = 6{,}48\ \text{V}$$Interpretación del signo. El signo negativo es la ley de Lenz: como el campo (y con él el flujo) está aumentando, la corriente inducida circula en el sentido que crea un campo opuesto al aplicado, tratando de frenar ese aumento. En módulo, la f.e.m. inducida es de $6{,}48\,\text{V}$.