Campo y potencial eléctrico

a) i) Sí puede. Con las dos cargas positivas, en un punto del segmento el campo de $q$ apunta alejándose de ella (hacia $4q$) y el de $4q$ apunta alejándose de ella (hacia $q$): tienen sentidos opuestos y pueden cancelarse.

En el esquema se dibujan los dos vectores en un punto intermedio, apuntando uno hacia cada lado. Como la carga $4q$ es mayor, el punto de equilibrio estará más cerca de $q$, para que la menor distancia compense su menor valor.

(Fuera del segmento los dos campos apuntan en el mismo sentido y se suman, así que ahí nunca se anula.)

a) ii) Sea $x$ la distancia desde la carga $q$; la distancia a $4q$ es $d - x$:$$\frac{K\,q}{x^2} = \frac{K\,4q}{(d-x)^2} \quad\Longrightarrow\quad (d-x)^2 = 4\,x^2 \quad\Longrightarrow\quad d - x = 2\,x$$$$\boxed{x = \frac{d}{3}}$$El campo se anula a $d/3$ de la carga $q$ (y a $2d/3$ de la carga $4q$), como habíamos anticipado.

b) i) Ahora las cargas tienen signos opuestos, así que en la región entre ellas los dos campos apuntan en el mismo sentido (del positivo al negativo) y se suman: ahí no puede anularse.

Hay que buscar fuera del segmento, y concretamente del lado de la carga de menor valor absoluto, que es $q_1 = -2\cdot 10^{-6}\,\text{C}$ (situada en $A(3,0)$): solo allí la mayor cercanía compensa el menor valor. El punto estará, por tanto, en el eje $X$ con $x > 3$.

Distancias desde un punto $(x,0)$: a $A$ es $x - 3$ y a $B$ es $x + 3$. Igualando módulos:$$\frac{K\,|q_1|}{(x-3)^2} = \frac{K\,|q_2|}{(x+3)^2} \quad\Longrightarrow\quad \frac{2}{(x-3)^2} = \frac{8}{(x+3)^2}$$$$(x+3)^2 = 4\,(x-3)^2 \quad\Longrightarrow\quad x + 3 = 2\,(x - 3)$$$$x + 3 = 2x - 6 \quad\Longrightarrow\quad x = 9$$El campo eléctrico se anula en el punto $(9,\,0)\,\text{m}$, a $6\,\text{m}$ de la carga negativa y a $12\,\text{m}$ de la positiva.

b) ii) El potencial es escalar y se suma con su signo. En $P(0,0)$ ambas cargas están a $3\,\text{m}$:$$V_P = K\left(\frac{q_1}{3} + \frac{q_2}{3}\right) = 9\cdot 10^{9}\left(\frac{-2\cdot 10^{-6} + 8\cdot 10^{-6}}{3}\right)$$$$V_P = 9\cdot 10^{9}\cdot 2\cdot 10^{-6} = 1{,}8\cdot 10^{4}\ \text{V}$$Positivo, porque domina la carga positiva, que es cuatro veces mayor en valor absoluto.