Inducción electromagnética

a) La fuerza electromotriz inducida en un solenoide de $N$ espiras es$$\varepsilon = -N\,\frac{d\Phi}{dt} = -N\,S\cos\theta\;\frac{dB}{dt}$$donde $\theta$ es el ángulo entre el campo y el vector superficie, que coincide con el eje del solenoide.

i) El número de espiras es el doble. El factor $N$ está multiplicando, así que$$\varepsilon' = 2\,\varepsilon$$La fuerza electromotriz se duplica. Es la razón por la que las bobinas de los generadores llevan muchísimas espiras: cada una aporta su contribución y todas se suman en serie.

ii) El ángulo es el doble del inicial, es decir, $2\cdot 45^\circ = 90^\circ$. Entonces$$\cos 90^\circ = 0 \quad\Longrightarrow\quad \Phi = B\,S\cos 90^\circ = 0 \ \text{en todo instante}$$$$\varepsilon' = 0$$La fuerza electromotriz se anula por completo. El campo es ahora perpendicular al eje del solenoide, es decir, está contenido en el plano de sus espiras, y no las atraviesa: el flujo es idénticamente nulo por más que $B$ varíe con el tiempo.

Es el resultado clave del apartado: no basta con que el campo cambie, hace falta que cambie el flujo, y con esta orientación el flujo es nulo siempre.

Esquema: el solenoide con su eje formando $45^\circ$ con las líneas de campo en la situación inicial, y a $90^\circ$ en el segundo caso, con las líneas de campo deslizándose por el plano de las espiras sin atravesarlas.

b) i) El campo externo es perpendicular al plano de la espira; supongamos que es entrante en el papel. Mientras la espira penetra, la superficie afectada aumenta, y con ella el flujo entrante:$$\Phi = B\,S(t) \quad\text{crece}$$Por la ley de Lenz, la corriente inducida se opone a ese aumento generando en el interior de la espira un campo saliente, opuesto al externo. Aplicando la regla de la mano derecha, eso corresponde a una corriente en sentido antihorario.

Esquema: la región del campo representada con cruces (entrante); la espira entrando por la izquierda; dentro de ella, una flecha circular antihoraria y el campo inducido dibujado con puntos (saliente), opuesto al externo. Además, la fuerza magnética sobre la espira se opone a su entrada: hay que empujarla.

b) ii) El flujo en función del tiempo es$$\Phi(t) = B\,S(t) = 2\cdot 0{,}25\,t = 0{,}5\,t\ \ \text{Wb}$$Aplicando la ley de Faraday-Lenz:$$\varepsilon = -\frac{d\Phi}{dt} = -0{,}5$$$$|\varepsilon| = 0{,}5\ \text{V}$$La fuerza electromotriz es constante durante toda la entrada, porque el área crece de manera uniforme (a razón de $0{,}25\,\text{m}^2$ por segundo). El signo negativo expresa, una vez más, que la corriente inducida se opone al aumento del flujo.

Conviene señalar que, en cuanto la espira esté completamente dentro del campo, el área afectada dejará de crecer, el flujo será constante y la corriente cesará, aunque la espira siga moviéndose.