Inducción electromagnética

a) Para una espira que gira con velocidad angular $\omega$ en un campo uniforme perpendicular al eje de rotación, el ángulo entre $\vec{B}$ y la normal a la espira es $\theta = \omega t$, así que el flujo varía sinusoidalmente:$$\Phi = B\,S\cos(\omega t)$$Por la ley de Faraday:$$\varepsilon = -\frac{d\Phi}{dt} = B\,S\,\omega\,\text{sen}(\omega t)$$cuyo valor máximo (cuando $\text{sen}(\omega t) = \pm 1$) es$$\varepsilon_{\text{máx}} = B\,S\,\omega = B\,(\pi R^2)\,\frac{2\pi}{T}$$i) Se duplica el radio ($R' = 2R$). La superficie depende del cuadrado del radio:$$S' = \pi(2R)^2 = 4\,\pi R^2 = 4\,S \quad\Longrightarrow\quad \varepsilon'_{\text{máx}} = 4\,\varepsilon_{\text{máx}}$$La f.e.m. máxima se hace cuatro veces mayor.

ii) Se duplica el periodo ($T' = 2T$). La velocidad angular se reduce a la mitad:$$\omega' = \frac{2\pi}{2T} = \frac{\omega}{2} \quad\Longrightarrow\quad \varepsilon'_{\text{máx}} = \frac{\varepsilon_{\text{máx}}}{2}$$La f.e.m. máxima se reduce a la mitad: al girar más despacio, el flujo cambia más lentamente.

b) i) Superficie de una espira:$$S = \pi R^2 = \pi(0{,}03)^2 = 2{,}83\cdot 10^{-3}\ \text{m}^2$$El campo forma $60^\circ$ con el eje de la bobina, que es la dirección de la normal, luego $\cos\theta = \cos 60^\circ = 0{,}5$.

Como el campo varía linealmente, su derivada es constante:$$\frac{dB}{dt} = \frac{10 - 4}{4} = 1{,}5\ \text{T}\,\text{s}^{-1}$$Fuerza electromotriz inducida en las $N = 75$ espiras:$$|\varepsilon| = N\,S\cos 60^\circ\,\left|\frac{dB}{dt}\right| = 75\cdot 2{,}83\cdot 10^{-3}\cdot 0{,}5\cdot 1{,}5$$$$|\varepsilon| = 0{,}159\ \text{V}$$Sentido de la corriente. El campo aumenta, así que el flujo a través de la bobina también. Por la ley de Lenz, la corriente inducida se opone a ese aumento creando en el interior de la bobina un campo magnético de sentido contrario a la componente del campo externo a lo largo del eje. En el esquema: si esa componente sale del plano de las espiras, la corriente circula en sentido horario (vista desde ese lado).

b) ii) El flujo es $\Phi = N B S\cos\theta$, siendo $\theta$ el ángulo entre el campo y el eje de la bobina:

• Para que no se produzca corriente, hay que anular el flujo en todo instante: $\cos\theta = 0$, es decir, $\theta = 90^\circ$. La bobina debe orientarse con su eje perpendicular al campo, o lo que es lo mismo, con su plano paralelo al campo: así las líneas de campo no la atraviesan y, por mucho que $B$ cambie, $\Phi = 0$ y $\varepsilon = 0$.

• Para que la corriente sea la mayor posible, hay que maximizar el flujo: $\cos\theta = 1$, es decir, $\theta = 0$. La bobina debe orientarse con su eje paralelo al campo (plano perpendicular a él). En ese caso la f.e.m. sería

$$|\varepsilon|_{\text{máx}} = N\,S\,\frac{dB}{dt} = 75\cdot 2{,}83\cdot 10^{-3}\cdot 1{,}5 = 0{,}318\ \text{V}$$es decir, el doble de la calculada, porque desaparece el factor $\cos 60^\circ = 0{,}5$.