Campo magnético creado por corrientes

a.i) Fuerza de Lorentz magnética:$$\vec F = q\,\vec v\times\vec B$$$q$ es la carga de la partícula (C, con su signo), $\vec v$ su velocidad (m/s) y $\vec B$ el campo magnético en el punto donde está (T). La fuerza es perpendicular a la vez a $\vec v$ y a $\vec B$ (sentido dado por la regla de la mano derecha para $q>0$, el contrario para $q<0$).

a.ii) Su módulo es $F = |q|\,v\,B\,\text{sen}\,\theta$, con $\theta$ el ángulo entre $\vec v$ y $\vec B$:

• Es máximo, $F = |q|vB$, cuando $\text{sen}\,\theta = 1$, es decir, cuando la carga se mueve perpendicularmente al campo ($\theta=90^\circ$).
• Se anula cuando $\text{sen}\,\theta = 0$, es decir, cuando la carga se mueve paralela o antiparalela al campo ($\theta=0^\circ$ o $180^\circ$); también, trivialmente, si la carga está en reposo ($v=0$) o no hay campo.

b.i) Esquema: dibujamos los dos conductores verticales en el plano del papel, el 1 ($I_1 = 10\,\text{A}$, hacia arriba) a la izquierda y el 2 ($I_2 = 4\,\text{A}$, hacia abajo) $0{,}2\,\text{m}$ a su derecha; el punto $P$ está en el mismo plano, $0{,}1\,\text{m}$ a la derecha del 2. Las líneas de campo de cada hilo son circunferencias concéntricas con él; por la regla de la mano derecha (pulgar en el sentido de la corriente):

• $\vec B_1$ en $P$ (a la derecha de una corriente hacia arriba) es perpendicular al papel, hacia dentro ($\otimes$).
• $\vec B_2$ en $P$ (a la derecha de una corriente hacia abajo) es perpendicular al papel, hacia fuera ($\odot$).

El punto dista $0{,}3\,\text{m}$ del conductor de $10\,\text{A}$ y $0{,}1\,\text{m}$ del de $4\,\text{A}$:$$B_1 = \frac{\mu_0\cdot 10}{2\pi\cdot0{,}3} = 6{,}67\cdot10^{-6}\ \text{T}\qquad B_2 = \frac{\mu_0\cdot 4}{2\pi\cdot0{,}1} = 8{,}0\cdot10^{-6}\ \text{T}$$Como los campos tienen sentidos contrarios, el total es la diferencia:$$B = B_2 - B_1 = 8{,}0\cdot10^{-6} - 6{,}67\cdot10^{-6} = 1{,}33\cdot10^{-6}\ \text{T}$$perpendicular al plano de los conductores y en el sentido de $\vec B_2$ (el del conductor más próximo, el de $4\,\text{A}$: hacia fuera del papel en nuestro esquema).

b.ii) Cada conductor está en el campo del otro. Sobre el conductor 2 actúa $\vec F_{2} = I_2\,\vec\ell\times\vec B_1$; en su posición $\vec B_1$ vale $\mu_0 I_1/(2\pi d)$ y es perpendicular al hilo, así que el módulo por unidad de longitud es$$\frac{F}{\ell} = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2\pi d} = \frac{2\cdot10^{-7}\cdot 10\cdot 4}{0{,}2} = 4\cdot10^{-5}\ \text{N m}^{-1}$$Sentido: en el hilo 2, $\vec\ell$ apunta hacia abajo y $\vec B_1$ hacia dentro del papel; $(-\hat{\jmath})\times(-\hat k) = +\hat\imath$, es decir, la fuerza sobre el 2 apunta hacia la derecha, alejándolo del 1. Por la tercera ley de Newton, sobre el 1 actúa una fuerza igual y opuesta: la interacción es repulsiva, como corresponde a corrientes de sentidos opuestos.