Movimiento de cargas: fuerza de Lorentz

a) Si el electrón lleva movimiento rectilíneo uniforme, $\vec a = 0$ y la fuerza neta (de Lorentz) es nula:$$\vec F = q\left(\vec E + \vec v\times\vec B\right) = 0\ \Rightarrow\ \vec E = -\,\vec v\times\vec B$$(el peso del electrón es despreciable). La fuerza eléctrica y la magnética deben ser iguales y opuestas. Como la fuerza magnética es perpendicular a $\vec v$ y a $\vec B$, también $\vec E$ ha de serlo; en el caso más sencillo, $\vec v$, $\vec B$ y $\vec E$ son perpendiculares dos a dos, y $\vec E$ tiene el sentido de $-\vec v\times\vec B$. Por ejemplo: si $\vec v = v\,\vec i$ y $\vec B = B\,\vec j$, entonces $\vec v\times\vec B = vB\,\vec k$ y hace falta $\vec E = -vB\,\vec k$. Sobre el electrón ($q=-e$) la fuerza eléctrica $-e\vec E = evB\,\vec k$ apunta hacia $+Z$ y la magnética $-e\,\vec v\times\vec B = -evB\,\vec k$ hacia $-Z$: se anulan. Igualando módulos:$$eE = evB\ \Rightarrow\ E = vB\quad\left(v = \frac{E}{B}\right)$$(Si $\vec B$ fuese paralelo a $\vec v$, la fuerza magnética sería nula y $\vec E$ tendría que ser nulo.)

Si fuese un protón, la condición $\vec E = -\vec v\times\vec B$ no depende de la carga: con los mismos campos también seguiría en línea recta con la misma velocidad. Lo único que cambia es que las dos fuerzas invierten su sentido (la eléctrica hacia $-Z$ y la magnética hacia $+Z$ en el ejemplo), y siguen compensándose.

La simulación dibuja el ejemplo en el plano $XZ$ visto desde el semieje $-Y$: $\vec v$ hacia la derecha, $\vec B = B\,\vec j$ entrando en la pantalla y $\vec E = -vB\,\vec k$ hacia abajo (unidades de simulación). Cambia el signo de la carga para ver el caso del protón.

b) Campo del hilo a $r = 0{,}5\,\text{m}$:$$B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r} = \frac{2\cdot10^{-7}\cdot10}{0{,}5} = 4\cdot10^{-6}\ \text{T}$$Representación. Tomamos el hilo sobre el eje $Z$ (corriente hacia $+Z$) y el protón en el punto $(0{,}5;\ 0;\ 0)\,\text{m}$ del eje $X$. Se dibujan: la corriente $I$ hacia arriba ($+Z$); las líneas de $\vec B$, circunferencias alrededor del hilo en sentido antihorario vistas desde $+Z$ (regla de la mano derecha), de modo que en la posición del protón $\vec B = B\,\vec j$; la velocidad del protón hacia el hilo, $\vec v = -v\,\vec i$; y la fuerza $\vec F$, perpendicular a ambas.$$\vec F = e\,\vec v\times\vec B = e\,(-v\,\vec i)\times(B\,\vec j) = -evB\,\vec k$$Su módulo es:$$F = e\,v\,B = 1{,}6\cdot10^{-19}\cdot2\cdot10^{5}\cdot4\cdot10^{-6} = 1{,}28\cdot10^{-19}\ \text{N}$$Su dirección es paralela al conductor (eje $Z$), en sentido opuesto a la corriente ($-Z$): $\vec F = -1{,}28\cdot10^{-19}\,\vec k\ \text{N}$.