Inducción electromagnética

a) i) Una partícula de carga $q$ y masa $m$ que entra perpendicularmente a $\vec{B}$ describe una circunferencia, porque la fuerza de Lorentz $\vec{F} = q\vec{v}\times\vec{B}$ es siempre perpendicular a la velocidad, con módulo constante $qvB$. Haciendo de fuerza centrípeta:$$q v B = \frac{m v^2}{R} \quad\Longrightarrow\quad \boxed{R = \frac{m v}{q B}}$$ii) El periodo se obtiene de $v = 2\pi R/T$:$$T = \frac{2\pi R}{v} = \frac{2\pi m}{q B}$$Con $m_1 = 20\,m_2$ y $q_1 = q_2/2$:$$\frac{T_1}{T_2} = \frac{m_1/q_1}{m_2/q_2} = \frac{20\,m_2}{q_2/2}\cdot\frac{q_2}{m_2} = 40$$El periodo de la primera es cuarenta veces el de la segunda. Obsérvese que el periodo no depende de $v$ ni de $R$: es el fundamento del ciclotrón.

b1) El lado móvil, de longitud $a$, barre área a razón de $dS/dt = a\,v$, luego$$|\varepsilon| = \left|\frac{d\Phi}{dt}\right| = B\,a\,v = 2\cdot 0{,}15\cdot 0{,}2 = 0{,}06\ \text{V}$$Intensidad:$$I = \frac{|\varepsilon|}{R} = \frac{0{,}06}{50} = 1{,}2\cdot 10^{-3}\ \text{A} = 1{,}2\ \text{mA}$$iii) En el esquema, la espira cerrada es el rectángulo formado por el lado móvil y el lado fijo de la derecha (los raíles están abiertos por la izquierda). Como el lado móvil se desplaza hacia la derecha, el área encerrada disminuye y el flujo del campo saliente decrece. Por la ley de Lenz, la corriente inducida se opone a esa disminución creando dentro de la espira un campo saliente (del mismo sentido que $\vec{B}$), que se dibuja con puntos $\odot$ en el rectángulo comprendido entre el lado móvil y el lado derecho. Por la regla de la mano derecha (pulgar hacia fuera del papel, los dedos dan el sentido de giro), la corriente circula en sentido antihorario: hacia arriba por el lado fijo de la derecha y hacia abajo por el lado móvil.

Se comprueba con la fuerza sobre las cargas del lado móvil: $\vec{F} = q\,\vec{v}\times\vec{B}$ con $\vec{v}$ hacia la derecha ($+\hat{\imath}$) y $\vec{B}$ saliente ($+\hat{k}$) da $\hat{\imath}\times\hat{k} = -\hat{\jmath}$: las cargas positivas se mueven hacia abajo por la barra, lo que coincide con el sentido antihorario de la espira de la derecha.

En la simulación la longitud del lado móvil se llama $L$ (aquí $L = a = 0{,}15\,\text{m}$) y los raíles están unidos por la derecha, como en la figura.

b2) Cargas: $q_A = +10^{-6}\,\text{C}$ en $A(0,-4)$ y $q_B = -10^{-6}\,\text{C}$ en $B(0,4)$. Con $K q = 9\cdot 10^{9}\cdot 10^{-6} = 9\cdot 10^{3}$.

Potencial en $C(6,0)$. Las dos distancias son iguales:$$r_A = r_B = \sqrt{6^2 + 4^2} = \sqrt{52} = 7{,}21\,\text{m}$$$$V_C = K\left(\frac{+10^{-6}}{7{,}21} + \frac{-10^{-6}}{7{,}21}\right) = 0\ \text{V}$$Es la mediatriz del dipolo: todos sus puntos están a potencial cero.

Potencial en $D(0,8)$: $r_A = 12\,\text{m}$, $r_B = 4\,\text{m}$.$$V_D = 9\cdot 10^{3}\left(\frac{1}{12} - \frac{1}{4}\right) = 750 - 2250 = -1500\ \text{V}$$ii) Trabajo del campo al llevar $q = +4\cdot 10^{-4}\,\text{C}$ de $C$ a $D$:$$W_{C\to D} = q\,(V_C - V_D) = 4\cdot 10^{-4}\,(0 - (-1500))$$$$W_{C\to D} = 0{,}6\ \text{J}$$Es positivo: el campo realiza trabajo, la carga se mueve espontáneamente en ese sentido y su energía potencial disminuye (una carga positiva "cae" hacia potenciales menores).