Campo y potencial eléctrico

a) i) Una superficie equipotencial es el lugar geométrico de los puntos que tienen el mismo potencial eléctrico. Como el campo es siempre perpendicular a ellas y apunta hacia potenciales decrecientes, las líneas de campo las cortan en ángulo recto.

Para una carga puntual el potencial vale$$V = \frac{K q}{r}$$es decir, solo depende de la distancia $r$. Los puntos con el mismo $V$ son los que están a la misma distancia de la carga: las superficies equipotenciales son esferas concéntricas centradas en la carga.

a) ii) El trabajo de la fuerza eléctrica entre dos puntos es$$W = q\,(V_{\text{inicial}} - V_{\text{final}})$$Si el desplazamiento ocurre sobre una misma equipotencial, $V_{\text{inicial}} = V_{\text{final}}$ y por tanto$$W = 0$$Se ve igual desde la geometría: la fuerza $\vec{F} = q\vec{E}$ es perpendicular a la superficie y el desplazamiento es tangente a ella, luego $\vec{F}\cdot d\vec{r} = 0$ en todo el recorrido.

b) i) Distancias desde cada carga hasta $P(3,4)$:$$r_{AP} = \sqrt{(3-0)^2 + (4-8)^2} = \sqrt{9+16} = 5\ \text{m}$$$$r_{BP} = \sqrt{(3-6)^2 + (4-0)^2} = \sqrt{9+16} = 5\ \text{m}$$Las dos valen lo mismo porque $P$ es el punto medio de $AB$. El módulo de cada fuerza es, por tanto, idéntico:$$F_A = F_B = \frac{K\,|q|\,|q_3|}{r^2} = \frac{9\cdot 10^{9}\cdot 1{,}2\cdot 10^{-6}\cdot 1{,}5\cdot 10^{-6}}{5^2} = 6{,}48\cdot 10^{-4}\ \text{N}$$En el esquema, ambas cargas y la tercera son negativas, así que las dos fuerzas son repulsivas: la de $A$ empuja a $P$ alejándolo de $A$ (dirección $\overrightarrow{AP}$) y la de $B$ lo empuja alejándolo de $B$ (dirección $\overrightarrow{BP}$). Pero $\overrightarrow{AP}$ y $\overrightarrow{BP}$ son opuestos, porque $A$, $P$ y $B$ están alineados y $P$ es el punto medio:$$\hat{u}_{AP} = \frac{(3,-4)}{5} = (0{,}6;\,-0{,}8) \qquad \hat{u}_{BP} = \frac{(-3,4)}{5} = (-0{,}6;\,+0{,}8)$$$$\vec{F}_A = 6{,}48\cdot 10^{-4}\,(0{,}6;\,-0{,}8)\ \text{N} \qquad \vec{F}_B = -\vec{F}_A$$$$\vec{F}_{\text{total}} = \vec{F}_A + \vec{F}_B = \vec{0}$$b) ii) Potencial creado por las dos cargas en $P$ (escalar, se suma con signo):$$V_P = K\left(\frac{q}{r_{AP}} + \frac{q}{r_{BP}}\right) = 9\cdot 10^{9}\left(\frac{-1{,}2\cdot 10^{-6}}{5} + \frac{-1{,}2\cdot 10^{-6}}{5}\right)$$$$V_P = 9\cdot 10^{9}\cdot(-4{,}8\cdot 10^{-7}) = -4320\ \text{V}$$En el infinito el potencial es nulo, $V_\infty = 0$. El trabajo del campo al traer la carga es$$W_{\infty\to P} = q_3\,(V_{\infty} - V_P) = (-1{,}5\cdot 10^{-6})\,(0 - (-4320))$$$$W_{\infty\to P} = -6{,}48\cdot 10^{-3}\ \text{J}$$Es negativo, como cabía esperar: traer una carga negativa hacia otras dos negativas es ir en contra de la repulsión, así que el campo se opone y hay que aportar esos $6{,}48\cdot 10^{-3}\,\text{J}$ desde fuera.