Campo magnético creado por corrientes

a) i) Sobre el electrón actúan la fuerza eléctrica y la magnética, y la condición del enunciado es que su suma sea nula:$$\vec{F} = q\,\vec{E} + q\,\vec{v}\times\vec{B} = \vec{0} \quad\Longrightarrow\quad \vec{E} = -\,\vec{v}\times\vec{B}$$De aquí se deducen las orientaciones necesarias:

• La fuerza magnética $q\,\vec{v}\times\vec{B}$ es, por construcción, perpendicular tanto a $\vec{v}$ como a $\vec{B}$.
• Para que la fuerza eléctrica pueda cancelarla, $\vec{E}$ debe ser paralelo a esa dirección y de sentido opuesto, luego $\vec{E}$ es también perpendicular a $\vec{v}$ y a $\vec{B}$.
• Y para que la fuerza magnética no sea nula, $\vec{v}$ debe ser perpendicular a $\vec{B}$.

En conclusión: los tres vectores $\vec{v}$, $\vec{E}$ y $\vec{B}$ son mutuamente perpendiculares.

Esquema: el electrón se mueve horizontalmente hacia la derecha ($\vec{v}$ según $+X$); el campo magnético es entrante en el papel ($-Z$); entonces $\vec{v}\times\vec{B}$ apunta según $+Y$ y, al ser la carga negativa, la fuerza magnética va según $-Y$. Para compensarla hace falta una fuerza eléctrica según $+Y$, y como $\vec{F}_E = -e\vec{E}$, el campo eléctrico debe apuntar según $-Y$.

Conviene subrayar ese doble cambio de signo: en el electrón, el campo eléctrico apunta en sentido contrario a la fuerza que ejerce sobre él.

a) ii) Igualando los módulos de ambas fuerzas, con $\vec{v} \perp \vec{B}$:$$|q|\,E = |q|\,v\,B \quad\Longrightarrow\quad v = \frac{E}{B}$$La carga se cancela: la condición no depende ni del signo ni del valor de la carga, ni tampoco de la masa. Ésa es exactamente la utilidad del dispositivo, llamado selector de velocidades: de un haz de partículas diversas, solo atraviesan la región sin desviarse aquellas cuya velocidad valga $E/B$.

b) i) El campo creado por un conductor rectilíneo indefinido es$$B = \frac{\mu_0\,I}{2\pi\,d}$$El punto está a $1{,}5\,\text{m}$ del primer conductor y, por tanto, a $3{,}5 - 1{,}5 = 2\,\text{m}$ del segundo.

Sentido de la corriente. Para que los dos campos puedan cancelarse en un punto situado entre los conductores, deben tener sentidos opuestos en esa región. Eso ocurre cuando las dos corrientes circulan en el mismo sentido, es decir, la segunda también hacia arriba.

(Si circulasen en sentidos opuestos, entre los conductores los campos se sumarían y no habría ningún punto de campo nulo en esa región.)

Valor de la intensidad. Igualamos los módulos:$$\frac{\mu_0\,I_1}{2\pi\cdot 1{,}5} = \frac{\mu_0\,I_2}{2\pi\cdot 2}$$Se cancelan $\mu_0$ y $2\pi$:$$\frac{3}{1{,}5} = \frac{I_2}{2} \quad\Longrightarrow\quad I_2 = \frac{3\cdot 2}{1{,}5}$$$$I_2 = 4\ \text{A}$$El resultado es coherente con el sentido común: el punto está más cerca del conductor de $3\,\text{A}$, así que el otro, más alejado, necesita más intensidad para compensarlo, en la proporción exacta de las distancias ($4/3 = 2/1{,}5$).

b) ii) Esquema: los dos conductores verticales con las corrientes hacia arriba; entre ellos, el punto $P$ a $1{,}5\,\text{m}$ del primero. El campo del conductor izquierdo en $P$ es entrante en el papel y el del derecho es saliente, ambos de módulo$$B = \frac{2\cdot 10^{-7}\cdot 3}{1{,}5} = 4\cdot 10^{-7}\ \text{T}$$de manera que se cancelan exactamente.