Campo y potencial eléctrico

a) i) Las dos partículas son idénticas y se repelen. Al soltar una de ellas, se aleja convirtiendo energía potencial en cinética.

Energía potencial inicial (a distancia $d$) y final (a distancia $2d$):$$E_{p,i} = \frac{K\,q^2}{d} \qquad E_{p,f} = \frac{K\,q^2}{2d}$$Como la partícula parte del reposo y solo se mueve una de ellas, la conservación de la energía da:$$\tfrac{1}{2}m\,v^2 = E_{p,i} - E_{p,f} = \frac{K\,q^2}{d} - \frac{K\,q^2}{2d} = \frac{K\,q^2}{2d}$$$$v = \sqrt{\frac{K\,q^2}{m\,d}}$$$$v = q\,\sqrt{\frac{K}{m\,d}}$$Merece la pena notar que solo la mitad de la energía potencial inicial se ha convertido en cinética al duplicar la distancia: la otra mitad sigue almacenada, y se liberaría si la partícula continuase hasta el infinito.

a) ii) Si ambas cargas se duplican, $q \to 2q$, el producto $q^2$ se multiplica por $4$ y la velocidad, que va con la raíz de ese producto, se multiplica por $2$:$$v' = 2q\,\sqrt{\frac{K}{m\,d}} = 2\,v$$La velocidad final se duplica.

b) Ahora la carga móvil es negativa y las dos fijas positivas, así que $Q$ es atraída hacia ellas: se moverá espontáneamente desde $(4,0)$ hasta el origen.

Distancias. Por simetría, ambas cargas fijas equidistan del punto de partida y del de llegada:

• desde $(4,0)$ a $(0,\pm 3)$: $\ r_i = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5\ \text{m}$
• desde $(0,0)$ a $(0,\pm 3)$: $\ r_f = 3\ \text{m}$

Energía potencial inicial (suma de las dos contribuciones, ambas iguales):$$E_{p,i} = 2\cdot\frac{K\,q\,Q}{r_i} = 2\cdot\frac{9\cdot 10^{9}\cdot 5\cdot 10^{-6}\cdot(-2\cdot 10^{-8})}{5} = 2\cdot\frac{-9\cdot 10^{-4}}{5}$$$$E_{p,i} = -3{,}6\cdot 10^{-4}\ \text{J}$$Energía potencial final:$$E_{p,f} = 2\cdot\frac{-9\cdot 10^{-4}}{3} = -6{,}0\cdot 10^{-4}\ \text{J}$$Conservación de la energía. La partícula parte del reposo, así que toda la variación de energía potencial se convierte en cinética:$$\tfrac{1}{2}m\,v^2 = E_{p,i} - E_{p,f} = -3{,}6\cdot 10^{-4} + 6{,}0\cdot 10^{-4}$$$$\tfrac{1}{2}m\,v^2 = 2{,}4\cdot 10^{-4}\ \text{J}$$$$v = \sqrt{\frac{2\cdot 2{,}4\cdot 10^{-4}}{8\cdot 10^{-6}}} = \sqrt{60}$$$$v = 7{,}75\ \text{m}\,\text{s}^{-1}$$El resultado es coherente: la energía cinética sale positiva, como debe ser, porque la partícula se acerca a las cargas que la atraen y la energía potencial se hace más negativa.