Movimiento de cargas: fuerza de Lorentz

a) i) La fuerza magnética sobre una carga en movimiento es$$\vec{F} = q\,\vec{v}\times\vec{B} \qquad\Longrightarrow\qquad |\vec{F}| = |q|\,v\,B\,\text{sen}\,\theta$$donde $\theta$ es el ángulo entre $\vec{v}$ y $\vec{B}$. El módulo es máximo cuando el seno vale $1$:$$\theta = 90^\circ$$es decir, cuando la velocidad es perpendicular al campo. En ese caso $F_{\text{máx}} = |q|\,v\,B$.

(En el extremo opuesto, si $\theta = 0^\circ$ o $180^\circ$ —velocidad paralela o antiparalela al campo— la fuerza es nula y la partícula sigue con movimiento rectilíneo uniforme.)

a) ii) La fuerza no cambia: es exactamente la misma. Se invierten dos cosas a la vez, y cada una aporta un cambio de signo que anula al otro:$$\vec{F}\,' = (-q)\,(-\vec{v})\times\vec{B} = (+q)\,\vec{v}\times\vec{B} = \vec{F}$$Tanto el módulo como la dirección y el sentido se conservan. Es un buen recordatorio de que el producto vectorial es lineal en ambos factores: dos signos negativos se compensan.

(Si solo se invirtiera una de las dos cosas —la velocidad o la carga—, la fuerza cambiaría de sentido conservando su módulo.)

b) i) Para que el protón no se desvíe, la fuerza total sobre él debe ser nula, así que la fuerza eléctrica y la magnética han de tener el mismo módulo y sentidos opuestos:$$\vec{F}_E + \vec{F}_B = \vec{0} \quad\Longrightarrow\quad q\,\vec{E} = -q\,\vec{v}\times\vec{B}$$Esquema: el protón entra horizontalmente hacia la derecha ($\vec v = v\,\vec i$); el campo magnético es entrante en el papel ($\vec B = -B\,\vec k$) y el eléctrico apunta hacia abajo ($\vec E = -E\,\vec j$). La fuerza magnética es $q\vec{v}\times\vec{B} = q\,v\,B\,(\vec i\times(-\vec k)) = +q\,v\,B\,\vec j$, hacia arriba, y la eléctrica $q\vec{E}$, hacia abajo, con el mismo módulo. (Si el campo eléctrico apuntara hacia arriba, habría que invertir $\vec B$.) El protón atraviesa la región en línea recta. Es el dispositivo conocido como selector de velocidades.

b) ii) Igualando los módulos de ambas fuerzas:$$q\,E = q\,v\,B \quad\Longrightarrow\quad v = \frac{E}{B} = \frac{3\cdot 10^{5}}{0{,}2}$$$$v = 1{,}5\cdot 10^{6}\ \text{m}\,\text{s}^{-1}$$Obsérvese que la carga se cancela: solo las partículas con esta velocidad atraviesan el selector sin desviarse, sea cual sea su carga o su masa. Ésa es justamente la utilidad del dispositivo.

b) iii) Si se anula el campo eléctrico, solo queda la fuerza magnética, que es perpendicular a la velocidad y actúa como centrípeta. El protón describe entonces una circunferencia:$$q\,v\,B = \frac{m_p\,v^2}{r} \quad\Longrightarrow\quad r = \frac{m_p\,v}{q\,B}$$$$r = \frac{1{,}7\cdot 10^{-27}\cdot 1{,}5\cdot 10^{6}}{1{,}6\cdot 10^{-19}\cdot 0{,}2} = \frac{2{,}55\cdot 10^{-21}}{3{,}2\cdot 10^{-20}}$$$$r = 7{,}97\cdot 10^{-2}\ \text{m} \approx 8\ \text{cm}$$En la simulación, el protón avanza hacia la derecha con $\vec B$ entrante y $\vec E$ hacia abajo; desmarca «Campo eléctrico encendido» para ver el apartado b) iii).