Campo magnético creado por corrientes

a) El conductor 1 crea a una distancia $d$ un campo $B_1 = \dfrac{\mu_0 I_1}{2\pi d}$, perpendicular al conductor 2. Sobre un tramo $\ell$ de este actúa $F = I_2\,\ell\,B_1$, así que$$\frac{F}{\ell} = \frac{\mu_0\,I_1\,I_2}{2\pi d}$$(y lo mismo sobre el conductor 1, por la tercera ley de Newton).

a.i) Como $\dfrac{F}{\ell}\propto I_1 I_2$, si ambas se duplican el producto se multiplica por $4$: la fuerza se cuadruplica, no se duplica. Afirmación falsa:$$\dfrac{F'}{\ell} = \dfrac{\mu_0 (2I_1)(2I_2)}{2\pi d} = 4\,\dfrac{F}{\ell}$$(Solo si se duplicara una de las dos intensidades se duplicaría la fuerza.)

a.ii) Como $\dfrac{F}{\ell}\propto \dfrac{1}{d}$, al duplicar $d$: $\dfrac{F'}{\ell} = \dfrac{\mu_0 I_1 I_2}{2\pi (2d)} = \dfrac12\,\dfrac{F}{\ell}$, la fuerza se reduce a la mitad. Afirmación verdadera.

b) Esquema: en el ecuador el campo magnético terrestre es horizontal y apunta hacia el norte geográfico (las líneas van del polo sur geográfico, que es un polo norte magnético, al norte geográfico). El hilo está tendido en dirección este-oeste, perpendicular a $\vec B$. Sobre él actúan el peso $m\vec g$, vertical hacia abajo, y la fuerza magnética $\vec F = I\,\vec\ell\times\vec B$, que debe ser vertical hacia arriba. Con $\vec B$ hacia el norte, $\vec\ell\times\vec B$ apunta hacia arriba si la corriente circula de oeste a este (este $\times$ norte = arriba).

Equilibrio de fuerzas (la fuerza magnética, de módulo $I\ell B$ porque $\vec\ell\perp\vec B$, compensa el peso):$$I\,\ell\,B = m g\;\Rightarrow\; I\,B = \lambda\,g$$con $\lambda = 4\cdot10^{-3}\,\text{g/m} = 4\cdot10^{-6}\,\text{kg/m}$:$$I = \frac{\lambda\,g}{B} = \frac{4\cdot10^{-6}\cdot 9{,}8}{5\cdot10^{-5}} = \frac{3{,}92\cdot10^{-5}}{5\cdot10^{-5}} = 0{,}78\ \text{A}$$