Movimiento de cargas: fuerza de Lorentz

a) i) Una partícula que entra perpendicularmente a un campo magnético describe una circunferencia, porque la fuerza de Lorentz hace de centrípeta:$$|q|\,v\,B = \frac{m v^2}{R} \quad\Longrightarrow\quad R = \frac{m\,v}{|q|\,B}$$Aplicándolo a las dos partículas, que comparten $v$ y $B$:$$R_1 = \frac{m_1 v}{q\,B} \qquad R_2 = \frac{m_2 v}{2q\,B}$$Imponiendo $R_2 = 2 R_1$:$$\frac{m_2 v}{2 q B} = 2\,\frac{m_1 v}{q B} \quad\Longrightarrow\quad \frac{m_2}{2} = 2\,m_1$$$$\boxed{m_2 = 4\,m_1}$$La segunda partícula es cuatro veces más masiva. Tiene sentido: al duplicar su carga, el campo la curva más, así que necesita cuadruplicar la masa para acabar con un radio doble.

a) ii) No realiza trabajo. La fuerza magnética $\vec{F} = q\,\vec{v}\times\vec{B}$ es, por la propia definición del producto vectorial, siempre perpendicular a la velocidad, y por tanto al desplazamiento:$$W = \int \vec{F}\cdot d\vec{r} = 0$$Por el teorema de las fuerzas vivas, $\Delta E_c = W = 0$: la energía cinética no cambia. El campo magnético modifica la dirección de la velocidad, curvando la trayectoria, pero nunca su módulo. Por eso el movimiento es circular uniforme.

b) i) El trabajo de la fuerza eléctrica se invierte íntegramente en energía cinética (parte del reposo):$$e\,\Delta V = \tfrac{1}{2}m_p v^2 \quad\Longrightarrow\quad v = \sqrt{\frac{2\,e\,\Delta V}{m_p}}$$$$v = \sqrt{\frac{2\cdot 1{,}6\cdot 10^{-19}\cdot 1000}{1{,}7\cdot 10^{-27}}} = \sqrt{1{,}88\cdot 10^{11}}$$$$v = 4{,}34\cdot 10^{5}\ \text{m}\,\text{s}^{-1}$$b) ii) Despejando el campo de la expresión del radio:$$B = \frac{m_p\,v}{e\,R} = \frac{1{,}7\cdot 10^{-27}\cdot 4{,}34\cdot 10^{5}}{1{,}6\cdot 10^{-19}\cdot 4\cdot 10^{-3}}$$$$B = \frac{7{,}38\cdot 10^{-22}}{6{,}4\cdot 10^{-22}} = 1{,}15\ \text{T}$$Dirección. El protón entra según $+X$ y describe la circunferencia en el plano $XZ$. La fuerza $\vec{F} = e\,\vec{v}\times\vec{B}$ debe estar contenida en ese plano (es centrípeta), y como $\vec{F}$ es perpendicular a $\vec{B}$, el campo tiene que ser perpendicular al plano $XZ$, es decir, en la dirección del eje $OY$. El sentido depende de hacia dónde se curve la trayectoria. Con $\vec{v} = v\,\vec{i}$ y $q = +e$:$$\vec{B} = +B\,\vec{j} \;\Longrightarrow\; \vec{F} = e\,v\,B\,(\vec{i}\times\vec{j}) = +e\,v\,B\,\vec{k} \qquad \vec{B} = -B\,\vec{j} \;\Longrightarrow\; \vec{F} = -e\,v\,B\,\vec{k}$$Si el protón se curva hacia $+Z$, el campo apunta según $+\vec{j}$; si se curva hacia $-Z$, según $-\vec{j}$. En ambos casos su módulo es $1{,}15\,\text{T}$.

La simulación dibuja el plano $XZ$ visto desde el semieje $-Y$: $X$ hacia la derecha, $+Z$ hacia arriba y $\vec B = +B\,\vec j$ entrando en la pantalla, así que el protón se curva hacia $+Z$.