Campo magnético creado por corrientes

a) Una partícula que entra perpendicularmente a un campo magnético describe una circunferencia de radio$$R = \frac{m\,v}{|q|\,B}$$Ambas comparten $v$ y $B$, y el enunciado dice que los radios son idénticos:$$\frac{m_A\,v}{q_A\,B} = \frac{m_B\,v}{q_B\,B} \quad\Longrightarrow\quad \frac{m_A}{q_A} = \frac{m_B}{q_B}$$Despejando y usando $m_B = 3\,m_A$:$$q_B = q_A\,\frac{m_B}{m_A} = 3\,q_A$$La carga de $B$ es el triple que la de $A$. Es lógico: si $B$ es tres veces más masiva, hace falta una fuerza tres veces mayor para curvarla igual, y esa fuerza la proporciona una carga tres veces mayor.

b) i) Campo creado por el hilo a $d = 2\,\text{m}$:$$B = \frac{\mu_0\,I}{2\pi\,d} = \frac{4\pi\cdot 10^{-7}\cdot 3}{2\pi\cdot 2} = 3\cdot 10^{-7}\ \text{T}$$Las líneas de este campo son circunferencias centradas en el hilo, contenidas en planos perpendiculares a él. La carga se mueve paralela al hilo, así que su velocidad es perpendicular a $\vec{B}$ en todo momento y el ángulo entre ambos es $90^\circ$:$$F = |q|\,v\,B\,\text{sen}\,90^\circ = 4\cdot 10^{-3}\cdot 8\cdot 3\cdot 10^{-7}$$$$F = 9{,}6\cdot 10^{-9}\ \text{N}$$(Su dirección es radial: perpendicular al hilo y a la velocidad, acercando o alejando la carga del hilo según su signo.)

b) ii) Con las dos corrientes en el mismo sentido, en la región entre los hilos los campos que crean tienen sentidos opuestos (uno entrante y otro saliente), de modo que pueden cancelarse. Fuera de los hilos se suman y nunca se anulan.

Sea $x$ la distancia al primer hilo ($I_1 = 3\,\text{A}$); la distancia al segundo será $1 - x$:$$\frac{\mu_0 I_1}{2\pi x} = \frac{\mu_0 I_2}{2\pi (1-x)} \quad\Longrightarrow\quad \frac{3}{x} = \frac{1}{1-x}$$$$3\,(1-x) = x \quad\Longrightarrow\quad 3 = 4x \quad\Longrightarrow\quad x = 0{,}75\ \text{m}$$El campo se anula a $0{,}75\,\text{m}$ del primer hilo (y a $0{,}25\,\text{m}$ del segundo): más cerca del hilo de menor intensidad, como cabía esperar.