Campo y potencial eléctrico

a) i) Falsa. Sobre una carga positiva la fuerza es $\vec{F} = q\vec{E}$, con el mismo sentido que el campo, y el campo apunta hacia potenciales decrecientes. Una carga positiva libre se mueve espontáneamente hacia potenciales menores, porque su energía potencial $E_p = qV$ disminuye al hacerlo.

ii) Verdadera. Aplicando la ley de Coulomb con las cargas dobles y la distancia doble:$$F' = K\frac{(2q)(2q)}{(2r)^2} = K\frac{4q^2}{4r^2} = K\frac{q^2}{r^2} = F$$El factor $4$ del numerador se cancela con el $4$ del denominador y la fuerza no varía. Conviene justificarlo con la fórmula y no de memoria, porque el resultado depende de que ambos factores sean exactamente $2$.

b) Cargas: $q_1 = 4\cdot 10^{-9}\,\text{C}$ en $(0,0)$ y $q_2 = -3\cdot 10^{-9}\,\text{C}$ en $(0,1)$.

Potencial en $A = (1,2)$. Distancias:$$r_1 = \sqrt{1^2+2^2} = \sqrt{5} = 2{,}24\,\text{m} \qquad r_2 = \sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2} = 1{,}41\,\text{m}$$$$V_A = K\left(\frac{q_1}{r_1} + \frac{q_2}{r_2}\right) = 9\cdot 10^{9}\left(\frac{4\cdot 10^{-9}}{2{,}24} + \frac{-3\cdot 10^{-9}}{1{,}41}\right)$$$$V_A = 16{,}10 - 19{,}09 = -2{,}99\ \text{V}$$Potencial en $B = (2,2)$. Distancias:$$r_1 = \sqrt{2^2+2^2} = 2\sqrt{2} = 2{,}83\,\text{m} \qquad r_2 = \sqrt{2^2+1^2} = \sqrt{5} = 2{,}24\,\text{m}$$$$V_B = 9\cdot 10^{9}\left(\frac{4\cdot 10^{-9}}{2{,}83} + \frac{-3\cdot 10^{-9}}{2{,}24}\right) = 12{,}73 - 12{,}07 = 0{,}65\ \text{V}$$Trabajo. El que hay que realizar desde fuera es el incremento de energía potencial:$$W_{\text{ext}} = \Delta E_p = q\,(V_B - V_A) = 2\cdot 10^{-9}\,(0{,}65 - (-2{,}99))$$$$W_{\text{ext}} = 2\cdot 10^{-9}\cdot 3{,}65 = 7{,}3\cdot 10^{-9}\ \text{J}$$Es positivo: hay que aportar energía, porque la carga se lleva a una zona de mayor potencial siendo ella positiva. El trabajo de las fuerzas del campo sería el opuesto, $-7{,}3\cdot 10^{-9}\,\text{J}$.