Inducción electromagnética

a) Sobre un protón ($q = +e$) la fuerza eléctrica es $\vec{F} = q\vec{E}$, con el mismo sentido que $\vec{E}$. Y el trabajo de esa fuerza es $W = -\Delta E_p$.

i) Se mueve en sentido contrario al campo. La fuerza (a favor de $\vec{E}$) y el desplazamiento (en contra) son opuestos, así que el trabajo es negativo:$$W < 0 \quad\Longrightarrow\quad \Delta E_p = -W > 0$$La energía potencial electrostática aumenta. Coherente con $E_p = qV$: al moverse en contra del campo va hacia potenciales mayores, y siendo $q>0$, su $E_p$ crece.

ii) Se mueve perpendicularmente al campo. Ahora $\vec{F} \perp \vec{d}$, luego$$W = \vec{F}\cdot\vec{d} = 0 \quad\Longrightarrow\quad \Delta E_p = 0$$La energía potencial no varía: se está moviendo sobre una superficie equipotencial.

b1) i) Superficie de una espira:$$S = \pi R^2 = \pi(0{,}025)^2 = 1{,}96\cdot 10^{-3}\ \text{m}^2$$El campo forma $60^\circ$ con el plano de las espiras, luego forma $90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$ con la normal. Flujo a través de las $N = 1000$ espiras:$$\Phi(t) = N\,B(t)\,S\cos 30^\circ = 1000\cdot 1{,}96\cdot 10^{-3}\cdot 0{,}866\cdot B(t) = 1{,}70\,B(t)$$En $t = 2\,\text{s}$:$$B(2) = 1 + 0{,}5\cdot 2 - 0{,}2\cdot 2^2 = 1 + 1 - 0{,}8 = 1{,}2\ \text{T}$$$$\Phi(2) = 1{,}70\cdot 1{,}2 = 2{,}04\ \text{Wb}$$(a través de cada espira, $2{,}04\cdot 10^{-3}\,\text{Wb}$).

ii) Fuerza electromotriz:$$\varepsilon = -\frac{d\Phi}{dt} = -1{,}70\,\frac{dB}{dt} = -1{,}70\,(0{,}5 - 0{,}4\,t)$$En $t = 2\,\text{s}$: $\dfrac{dB}{dt} = 0{,}5 - 0{,}8 = -0{,}3\ \text{T}\,\text{s}^{-1}$, luego$$\varepsilon(2) = -1{,}70\cdot(-0{,}3) = 0{,}510\ \text{V} \qquad |\varepsilon| = 0{,}510\ \text{V}$$b2) i) Campo de un hilo recto largo:$$B = \frac{\mu_0 I}{2\pi d} \quad\Longrightarrow\quad I = \frac{2\pi d\,B}{\mu_0} = \frac{2\pi\cdot 0{,}02\cdot 2\cdot 10^{-4}}{4\pi\cdot 10^{-7}}$$$$I_1 = 20\ \text{A}$$ii) Fuerza por unidad de longitud entre dos hilos paralelos separados $d = 0{,}08\,\text{m}$:$$\frac{F}{L} = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2\pi d} \quad\Longrightarrow\quad I_2 = \frac{2\pi d}{\mu_0 I_1}\cdot\frac{F}{L} = \frac{0{,}08\cdot 10^{-3}}{2\cdot 10^{-7}\cdot 20}$$$$I_2 = 20\ \text{A}$$Para que los conductores se atraigan, las corrientes deben circular en el mismo sentido. Se justifica con el esquema: los dos hilos perpendiculares al papel, el primero en el origen con su corriente saliendo del papel ($+\vec{k}$) y el segundo a $0{,}08\,\text{m}$ sobre el eje $X$. El campo del primer hilo en la posición del segundo es tangente a la circunferencia centrada en el hilo 1 (regla de la mano derecha):$$\vec{B}_1 = \frac{\mu_0 I_1}{2\pi\cdot 0{,}08}\,(\vec{k}\times\vec{i}) = \frac{4\pi\cdot 10^{-7}\cdot 20}{2\pi\cdot 0{,}08}\,\vec{j} = 5\cdot 10^{-5}\,\vec{j}\ \text{T}$$Si la corriente del segundo hilo también sale del papel, la ley de Laplace da$$\frac{\vec{F}}{L} = I_2\,\vec{k}\times\vec{B}_1 = 20\,\vec{k}\times 5\cdot 10^{-5}\,\vec{j} = -10^{-3}\,\vec{i}\ \ \text{N}\,\text{m}^{-1}$$que apunta hacia el primer hilo: atracción, con el módulo pedido. Con la corriente $I_2$ entrando en el papel, la fuerza cambiaría de sentido y se repelerían.