Inducción electromagnética

a) Falsa. Con el plano de la espira perpendicular al campo, la normal es paralela a $\vec{B}$ y el flujo vale$$\Phi(t) = B(t)\,S = a\,t^{2}\,S$$La fuerza electromotriz inducida es su derivada cambiada de signo:$$\varepsilon = -\frac{d\Phi}{dt} = -2\,a\,S\,t$$que depende del tiempo: crece linealmente con $t$. La corriente inducida, $I = \varepsilon/R$, tampoco es constante, sino que aumenta proporcionalmente al tiempo.

Para que la f.e.m. fuese constante, el flujo debería variar linealmente con el tiempo, es decir, haría falta un campo del tipo $B = a\,t + b$. Con una dependencia cuadrática, la f.e.m. es lineal.

b) i) En el esquema: la región $x \ge 0$ está llena de campo saliente del papel ($+OZ$), y la espira cuadrada avanza hacia la derecha, entrando en esa región desde $x < 0$.

Etapa 1: la espira está entrando ($0 \le t \le 3\,\text{s}$). Solo la parte ya introducida queda bañada por el campo. Si $L = 0{,}15\,\text{m}$ es el lado, la porción dentro tiene anchura $v\,t$ y la superficie efectiva es $S(t) = L\cdot v\,t$:$$\Phi(t) = B\,L\,v\,t = 10\cdot 0{,}15\cdot 0{,}05\,t$$$$\Phi(t) = 0{,}075\,t\ \ \text{Wb}$$La espira acaba de entrar cuando ha recorrido su propio lado:$$t_1 = \frac{L}{v} = \frac{0{,}15}{0{,}05} = 3\ \text{s}$$Etapa 2: la espira está completamente dentro ($t > 3\,\text{s}$). Toda su superficie está en el campo y el flujo se mantiene constante:$$\Phi = B\,L^2 = 10\cdot (0{,}15)^2 = 0{,}225\ \text{Wb}$$Gráfica de $\Phi$ frente a $t$: una recta creciente desde el origen hasta el punto $(3\,\text{s};\ 0{,}225\,\text{Wb})$, y a partir de ahí una horizontal en $0{,}225\,\text{Wb}$ hasta $t = 5\,\text{s}$.

b) ii) Fuerza electromotriz en cada etapa:

Mientras entra ($0 < t < 3\,\text{s}$), el flujo crece linealmente y su derivada es constante:$$\varepsilon = -\frac{d\Phi}{dt} = -0{,}075\ \text{V} \qquad\Longrightarrow\qquad |\varepsilon| = 0{,}075\ \text{V} = 75\ \text{mV}$$(Es la f.e.m. de movimiento $|\varepsilon| = B\,L\,v = 10\cdot 0{,}15\cdot 0{,}05$.)

Una vez dentro ($t > 3\,\text{s}$), el flujo es constante:$$\varepsilon = 0$$Gráfica de $|\varepsilon|$ frente a $t$: un escalón: vale constantemente $0{,}075\,\text{V}$ entre $t = 0$ y $t = 3\,\text{s}$, y cae bruscamente a cero desde $t = 3\,\text{s}$ hasta $t = 5\,\text{s}$.

En cuanto al sentido, mientras la espira entra el flujo saliente aumenta, así que por la ley de Lenz la corriente inducida circula en sentido horario (visto desde $+Z$), creando dentro un campo entrante que se opone al aumento.