Campo y potencial eléctrico

a) i) Con dos cargas negativas iguales, el campo de cada una apunta hacia ella. En un punto del segmento que las une, los dos campos tienen sentidos opuestos, luego pueden cancelarse; y por simetría (cargas iguales) eso ocurre justo en el punto medio, donde las distancias coinciden:$$\frac{K|q|}{(d/2)^2} = \frac{K|q|}{(d/2)^2} \quad\text{con sentidos opuestos} \quad\Longrightarrow\quad \vec{E} = \vec{0}$$Fuera del segmento, sobre la recta que las une, los dos campos apuntan en el mismo sentido y se suman; y fuera de esa recta no pueden cancelarse las dos componentes a la vez. El punto medio es el único punto a distancia finita donde $\vec{E} = \vec{0}$.

a) ii) No se anula. El potencial de cada carga negativa es$$V = \frac{K q}{r} < 0$$y la suma de dos cantidades negativas nunca es cero. Solo tiende a cero en el infinito.

b) i) Las distancias de $P(4,0)$ a cada carga son iguales:$$r_{AP} = r_{BP} = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5\ \text{m}$$Módulo del campo creado por cada una:$$E_A = E_B = \frac{K|q|}{r^2} = \frac{9\cdot 10^{9}\cdot 2\cdot 10^{-6}}{25} = 720\ \text{N}\,\text{C}^{-1}$$Direcciones: la carga de $A$ es positiva, así que su campo en $P$ se aleja de $A$, con unitario $\dfrac{(4,-3)}{5} = (0{,}8;\,-0{,}6)$. La de $B$ es negativa, así que su campo apunta hacia $B$, con unitario $\dfrac{(-4,-3)}{5} = (-0{,}8;\,-0{,}6)$.$$\vec{E}_A = 720\,(0{,}8;\,-0{,}6) = (576;\,-432)\ \text{N}\,\text{C}^{-1}$$$$\vec{E}_B = 720\,(-0{,}8;\,-0{,}6) = (-576;\,-432)\ \text{N}\,\text{C}^{-1}$$Al sumar, las componentes horizontales se cancelan y las verticales se suman:$$\vec{E}_P = -864\,\vec{j}\ \ \text{N}\,\text{C}^{-1} \qquad |\vec{E}_P| = 864\ \text{N}\,\text{C}^{-1}$$En el esquema, los dos vectores salen de $P$ formando un ángulo simétrico respecto a la horizontal y su resultante apunta hacia abajo, paralela al eje $Y$ y en el sentido de la carga positiva a la negativa, como es característico del dipolo.

b) ii) El potencial es escalar. En el origen $O(0,0)$, ambas cargas están a $3\,\text{m}$:$$V_O = K\left(\frac{+2\cdot 10^{-6}}{3} + \frac{-2\cdot 10^{-6}}{3}\right) = 0\ \text{V}$$En $P(4,0)$, ambas están a $5\,\text{m}$:$$V_P = K\left(\frac{+2\cdot 10^{-6}}{5} + \frac{-2\cdot 10^{-6}}{5}\right) = 0\ \text{V}$$Los dos puntos están en la mediatriz del dipolo (el eje $X$), donde el potencial es nulo en todos sus puntos.

b) iii) El trabajo de las fuerzas del campo solo depende de la diferencia de potenciales:$$W_{O\to P} = q\,(V_O - V_P) = (-1{,}6\cdot 10^{-19})\,(0 - 0)$$$$W_{O\to P} = 0\ \text{J}$$El electrón se desplaza a lo largo de una superficie equipotencial, así que el campo no realiza trabajo neto sobre él, por muy complicado que sea el camino.