FísicaMedioProblema · 2,5 pts

Movimiento de cargas: fuerza de Lorentz

Andalucía · 2018 · Reserva 2 · Opción A

Enunciado

a) Un protón y un electrón entran con la misma velocidad perpendicular a un campo magnético. ¿Cuál tiene mayor aceleración? ¿Cuál mayor radio de giro?

b) Un protón parte del reposo y se acelera con

5\,\text{kV}

; entra en un campo magnético perpendicular a su velocidad y describe un radio de

0{,}05\,\text{m}

. Calcule el módulo del campo magnético y el periodo del movimiento.

Datos:

e = 1{,}6\cdot10^{-19}\,\text{C}

;

m_p = 1{,}7\cdot10^{-27}\,\text{kg}

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;B = 0{,}21\ \text{T}\quad;\quad T = 3{,}2\cdot10^{-7}\ \text{s}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

La aceleración es

a = F/m = qvB/m

: a igual

q

v

B

, mayor para la partícula más ligera (electrón). El radio

r = mv/(qB)

es mayor para la de más masa (protón). En b):

E_c = eV

v

; de

r = mv/(qB)

despejamos

B

; el periodo es

T = 2\pi m/(qB)

Desarrollo

a) Sobre cada partícula actúa la fuerza de Lorentz

\vec F = q\,\vec v\times\vec B

; con

\vec v\perp\vec B

, su módulo es

F = |q|vB

. Protón y electrón tienen cargas del mismo valor absoluto

e

y la misma velocidad, así que sufren fuerzas del mismo módulo (de sentidos opuestos, por ser de signo contrario: giran en sentidos opuestos).

Aceleración: $a = \dfrac{F}{m} = \dfrac{evB}{m}$ . A igual fuerza, es mayor para la menor masa: el electrón tiene mayor aceleración (unas $m_p/m_e \approx 1836$ veces mayor).
Radio de giro: la fuerza magnética, perpendicular a $\vec v$ , es centrípeta: $evB = m\dfrac{v^2}{r} \Rightarrow r = \dfrac{mv}{eB}$ . El radio es proporcional a la masa: el protón describe una circunferencia de mayor radio.

b) Al acelerarse en la diferencia de potencial, el trabajo del campo eléctrico se convierte en energía cinética:

E_c = eV = 1{,}6\cdot10^{-19}\cdot5000 = 8\cdot10^{-16}\,\text{J}

v = \sqrt{\frac{2E_c}{m_p}} = \sqrt{\frac{2\cdot8\cdot10^{-16}}{1{,}7\cdot10^{-27}}} = 9{,}70\cdot10^{5}\ \text{m s}^{-1}

En el campo magnético, la fuerza de Lorentz es la centrípeta,

evB = m_p v^2/r

. Campo magnético y periodo (

T = 2\pi r/v

B = \frac{m_p v}{e\,r} = \frac{1{,}7\cdot10^{-27}\cdot9{,}70\cdot10^{5}}{1{,}6\cdot10^{-19}\cdot0{,}05} = 0{,}21\ \text{T}

T = \frac{2\pi m_p}{eB} = \frac{2\pi\cdot1{,}7\cdot10^{-27}}{1{,}6\cdot10^{-19}\cdot0{,}21} = 3{,}2\cdot10^{-7}\ \text{s}

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

El periodo del movimiento circular en un campo magnético, $T = 2\pi m/(qB)$ , no depende de la velocidad (ciclotrón): partículas rápidas y lentas de la misma clase tardan lo mismo en dar una vuelta.