Campo magnético creado por corrientes

a) i) Falsa. El flujo es $\Phi = \vec{B}\cdot\vec{S} = B\,S\cos\theta$, y puede ser nulo con $B \neq 0$ en dos casos: si $\vec{B}$ es paralelo a la superficie ($\theta = 90^\circ$), o si el campo entra por un lado y sale por otro (como ocurre siempre con una superficie cerrada, donde $\Phi = 0$ por no existir monopolos magnéticos). Flujo nulo no implica campo nulo.

ii) Falsa. La ley de Faraday relaciona la f.e.m. con la variación del flujo, no con su valor:$$\varepsilon = -\frac{d\Phi}{dt}$$Un flujo enorme pero constante produce $\varepsilon = 0$. Lo que importa es la rapidez del cambio, no la magnitud.

b1) i) Los dos conductores son paralelos a $OZ$ y las corrientes van hacia $+Z$. El campo de un hilo recto es$$B = \frac{\mu_0 I}{2\pi d}$$con dirección dada por la regla de la mano derecha: $\vec{B} = \dfrac{\mu_0 I}{2\pi d}\,(\hat{u}_I \times \hat{u}_r)$, siendo $\hat{u}_r$ el unitario del hilo hacia el punto.

Hilo 1 ($I_1 = 1\,\text{A}$ en $A(0,1)$), a $d_1 = 2\,\text{m}$ del punto $C(0,3)$. El unitario del hilo al punto es $+\vec{j}$, y $\vec{k}\times\vec{j} = -\vec{i}$:$$\vec{B}_1 = \frac{4\pi\cdot 10^{-7}\cdot 1}{2\pi\cdot 2}\,(-\vec{i}) = -1\cdot 10^{-7}\,\vec{i}\ \text{T}$$Hilo 2 ($I_2 = 2\,\text{A}$ en $B(0,4)$), a $d_2 = 1\,\text{m}$. Ahora el unitario del hilo al punto es $-\vec{j}$, y $\vec{k}\times(-\vec{j}) = +\vec{i}$:$$\vec{B}_2 = \frac{4\pi\cdot 10^{-7}\cdot 2}{2\pi\cdot 1}\,(+\vec{i}) = 4\cdot 10^{-7}\,\vec{i}\ \text{T}$$Campo total:$$\vec{B}_C = (-1 + 4)\cdot 10^{-7}\,\vec{i} = 3\cdot 10^{-7}\ \vec{i}\ \text{T}$$En el esquema, entre los dos hilos los campos tienen sentidos opuestos (por eso se restan), y gana el del hilo más cercano y de mayor intensidad.

ii) Fuerza por unidad de longitud entre los dos conductores, separados $d = 3\,\text{m}$:$$\frac{F}{L} = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2\pi d} = \frac{4\pi\cdot 10^{-7}\cdot 1\cdot 2}{2\pi\cdot 3} = 1{,}33\cdot 10^{-7}\ \text{N}\,\text{m}^{-1}$$Al ser las corrientes del mismo sentido, los conductores se atraen: la fuerza sobre el hilo de $2\,\text{A}$ apunta hacia el otro hilo, es decir, en el sentido $-\vec{j}$.

Se comprueba con la ley de Laplace: el hilo 1 crea en $B(0,4)$, a $3\,\text{m}$, un campo $\vec{B}_1 = \dfrac{\mu_0 I_1}{2\pi\cdot 3}\,(\vec{k}\times\vec{j}) = -6{,}67\cdot 10^{-8}\,\vec{i}\ \text{T}$, y la fuerza por unidad de longitud sobre el hilo 2 es$$\frac{\vec{F}}{L} = I_2\,\vec{k}\times\vec{B}_1 = 2\,\vec{k}\times\left(-6{,}67\cdot 10^{-8}\,\vec{i}\right) = -1{,}33\cdot 10^{-7}\ \vec{j}\ \ \text{N}\,\text{m}^{-1}$$b2) i) Cargas: $q_1 = 2\cdot 10^{-9}\,\text{C}$ en el origen y $q_2 = -4\cdot 10^{-9}\,\text{C}$ en $A(2,0)$. Punto $B(4,0)$.$$E_1 = \frac{K q_1}{r_1^2} = \frac{9\cdot 10^{9}\cdot 2\cdot 10^{-9}}{4^2} = 1{,}125\ \text{N}\,\text{C}^{-1}\quad\text{hacia } +X \text{ (carga positiva, se aleja)}$$$$E_2 = \frac{K |q_2|}{r_2^2} = \frac{9\cdot 10^{9}\cdot 4\cdot 10^{-9}}{2^2} = 9\ \text{N}\,\text{C}^{-1}\quad\text{hacia } -X \text{ (carga negativa, apunta hacia ella)}$$$$\vec{E}_B = (1{,}125 - 9)\,\vec{i} = -7{,}88\ \vec{i}\ \text{N}\,\text{C}^{-1}$$El campo apunta hacia la carga negativa, en sentido $-X$; en el dibujo, el vector sale de $B$ hacia $A$.

ii) Potenciales. En $B(4,0)$: $r_1 = 4$, $r_2 = 2$.$$V_B = 9\cdot 10^{9}\left(\frac{2\cdot 10^{-9}}{4} + \frac{-4\cdot 10^{-9}}{2}\right) = 4{,}5 - 18 = -13{,}5\ \text{V}$$En $C(0,4)$: $r_1 = 4$, $r_2 = \sqrt{2^2+4^2} = \sqrt{20} = 4{,}47$.$$V_C = 9\cdot 10^{9}\left(\frac{2\cdot 10^{-9}}{4} + \frac{-4\cdot 10^{-9}}{4{,}47}\right) = 4{,}5 - 8{,}05 = -3{,}55\ \text{V}$$Trabajo de las fuerzas del campo al llevar $q_3 = 1\cdot 10^{-9}\,\text{C}$ de $B$ a $C$:$$W_{B\to C} = q_3\,(V_B - V_C) = 1\cdot 10^{-9}\,(-13{,}5 + 3{,}55)$$$$W_{B\to C} = -9{,}95\cdot 10^{-9}\ \text{J}$$Es negativo: el campo se opone al desplazamiento, porque llevamos una carga positiva desde un potencial menor a otro mayor. Hace falta un agente externo que aporte esos $9{,}95\cdot 10^{-9}\,\text{J}$.