Campo y potencial eléctrico

a) i) Disminuye. El campo eléctrico apunta siempre en el sentido en que decrece el potencial. Sobre una carga positiva, la fuerza tiene el mismo sentido que el campo:$$\vec{F} = q\,\vec{E} \quad\text{con } q > 0$$Al moverse en ese sentido, la fuerza realiza trabajo positivo y, como $W = -\Delta E_p$:$$W > 0 \;\Longrightarrow\; \Delta E_p < 0$$La energía potencial disminuye. Es el movimiento espontáneo: la carga positiva "cae" hacia potenciales menores, igual que una masa cae hacia alturas menores.

a) ii) No varía. Si el desplazamiento es perpendicular al campo, la fuerza eléctrica también lo es, y su trabajo es nulo:$$W = \vec{F}\cdot\Delta\vec{r} = 0 \quad\Longrightarrow\quad \Delta E_p = 0$$La carga se está moviendo sobre una superficie equipotencial: en un campo uniforme, esas superficies son planos perpendiculares al campo, y a lo largo de ellos el potencial —y por tanto la energía potencial— permanece constante.

b) Campo eléctrico en $P(3,0)$.

Contribución de $q_1 = +3\cdot 10^{-9}\,\text{C}$ (en el origen). El vector de $q_1$ a $P$ es $(3,0)$, de módulo $r_1 = 3\,\text{m}$:$$|\vec{E}_1| = \frac{K\,q_1}{r_1^2} = \frac{9\cdot 10^{9}\cdot 3\cdot 10^{-9}}{9} = 3\ \text{N}\,\text{C}^{-1}$$Al ser positiva, el campo se aleja de ella, en el sentido $+X$:$$\vec{E}_1 = (3;\ 0)\ \text{N}\,\text{C}^{-1}$$Contribución de $q_2 = -4\cdot 10^{-9}\,\text{C}$ (en $(0,4)$). El vector de $q_2$ a $P$ es $(3,-4)$, de módulo$$r_2 = \sqrt{9 + 16} = 5\ \text{m} \qquad r_2^2 = 25\ \text{m}^2$$$$|\vec{E}_2| = \frac{9\cdot 10^{9}\cdot 4\cdot 10^{-9}}{25} = 1{,}44\ \text{N}\,\text{C}^{-1}$$Al ser negativa, el campo apunta hacia ella, es decir, en la dirección $(-3, 4)/5 = (-0{,}6;\ 0{,}8)$:$$\vec{E}_2 = 1{,}44\,(-0{,}6;\ 0{,}8) = (-0{,}864;\ 1{,}152)\ \text{N}\,\text{C}^{-1}$$Campo total:$$\vec{E} = (3 - 0{,}864;\ 0 + 1{,}152) = (2{,}14\,\vec{i} + 1{,}15\,\vec{j})\ \ \text{N}\,\text{C}^{-1}$$$$|\vec{E}| = \sqrt{2{,}14^2 + 1{,}15^2} = 2{,}43\ \text{N}\,\text{C}^{-1}$$formando con el eje $+X$ un ángulo de $\arctan(1{,}15/2{,}14) = 28{,}3^\circ$.

Potencial eléctrico en $P$. Al ser un escalar, basta sumar las contribuciones con su signo, sin descomponer nada:$$V = K\left(\frac{q_1}{r_1} + \frac{q_2}{r_2}\right) = 9\cdot 10^{9}\left(\frac{3\cdot 10^{-9}}{3} + \frac{-4\cdot 10^{-9}}{5}\right)$$$$V = 9\cdot 10^{9}\,(1\cdot 10^{-9} - 8\cdot 10^{-10}) = 9\cdot 10^{9}\cdot 2\cdot 10^{-10}$$$$V = 1{,}8\ \text{V}$$Esquema: las dos cargas y el punto $P$ formando un triángulo rectángulo de catetos $3$ y $4$; desde $P$, un vector de $3\,\text{N}\,\text{C}^{-1}$ hacia la derecha (alejándose de la carga positiva) y otro de $1{,}44\,\text{N}\,\text{C}^{-1}$ dirigido hacia la carga negativa, arriba y a la izquierda. La resultante apunta arriba y a la derecha.