Movimiento de cargas: fuerza de Lorentz

a) La fuerza por unidad de longitud entre dos conductores rectilíneos paralelos es$$\frac{F}{L} = \frac{\mu_0\,I_1\,I_2}{2\pi\,d}$$Aplicamos los dos cambios simultáneamente: $I_1 \to 2I_1$, $I_2 \to 2I_2$ y $d \to d/2$:$$\frac{F'}{L} = \frac{\mu_0\,(2I_1)(2I_2)}{2\pi\,(d/2)} = \frac{4\,\mu_0\,I_1\,I_2}{2\pi\,d/2} = 8\cdot\frac{\mu_0\,I_1\,I_2}{2\pi\,d}$$$$\frac{F'}{L} = 8\;\frac{F}{L}$$La fuerza por unidad de longitud se hace ocho veces mayor. El factor se descompone así: $\times 2$ por cada intensidad (total $\times 4$) y $\times 2$ más por reducir la distancia a la mitad, ya que la fuerza es inversamente proporcional a $d$ (no a $d^2$: es una de las peculiaridades de los conductores indefinidos).

La fuerza sigue siendo atractiva, porque las corrientes mantienen el mismo sentido.

b) i) Primero hay que obtener la velocidad del protón. Al ser acelerado desde el reposo, toda la energía eléctrica se convierte en cinética:$$e\,\Delta V = \tfrac{1}{2}m_p\,v^2 \quad\Longrightarrow\quad v = \sqrt{\frac{2\,e\,\Delta V}{m_p}}$$$$v = \sqrt{\frac{2\cdot 1{,}6\cdot 10^{-19}\cdot 6000}{1{,}7\cdot 10^{-27}}} = \sqrt{\frac{1{,}92\cdot 10^{-15}}{1{,}7\cdot 10^{-27}}} = \sqrt{1{,}129\cdot 10^{12}}$$$$v = 1{,}06\cdot 10^{6}\ \text{m}\,\text{s}^{-1}$$Como el protón describe una órbita circular, la velocidad es perpendicular al campo y la fuerza magnética tiene su valor máximo:$$F = e\,v\,B = 1{,}6\cdot 10^{-19}\cdot 1{,}06\cdot 10^{6}\cdot 0{,}8$$$$F = 1{,}36\cdot 10^{-13}\ \text{N}$$b) ii) Esa fuerza magnética es la que actúa como centrípeta:$$e\,v\,B = \frac{m_p\,v^2}{r} \quad\Longrightarrow\quad r = \frac{m_p\,v}{e\,B}$$$$r = \frac{1{,}7\cdot 10^{-27}\cdot 1{,}06\cdot 10^{6}}{1{,}6\cdot 10^{-19}\cdot 0{,}8} = \frac{1{,}807\cdot 10^{-21}}{1{,}28\cdot 10^{-19}}$$$$r = 1{,}41\cdot 10^{-2}\ \text{m} = 1{,}41\ \text{cm}$$Alternativamente, y sin arrastrar el redondeo de $v$, se puede usar directamente$$r = \frac{m_p\,v}{e\,B} = \frac{\sqrt{2\,m_p\,e\,\Delta V}}{e\,B}$$que da el mismo resultado.