Campo y potencial eléctrico

a) i) Sí puede ser negativo. El trabajo de la fuerza eléctrica al trasladar una carga $q$ entre dos puntos es$$W = q\,(V_i - V_f) = -\Delta E_p$$Será negativo siempre que la carga se desplace hacia posiciones de mayor energía potencial, es decir, cuando el movimiento va en contra de la tendencia natural del sistema. Ocurre, por ejemplo, al acercar dos cargas del mismo signo, o al alejar dos de signos opuestos: en ambos casos hace falta un agente externo que empuje, y la fuerza eléctrica se opone realizando trabajo negativo.

a) ii) Sí puede ser negativa. La energía potencial de un sistema de dos cargas puntuales es$$E_p = \frac{K\,q_1\,q_2}{r}$$y su signo es el del producto de las cargas:

• Si son del mismo signo, $q_1q_2 > 0$ y $E_p > 0$: se repelen y el sistema tiende a separarse.
• Si son de signos opuestos, $q_1q_2 < 0$ y $E_p < 0$: se atraen, el sistema está ligado y haría falta aportar energía para separarlas hasta el infinito.

Ésta es una diferencia importante respecto al caso gravitatorio, donde la energía potencial es siempre negativa porque no existen masas de signos opuestos.

b) i) Potencial en $(8,0)$. Las distancias a las dos cargas son idénticas por simetría:$$r_1 = r_2 = \sqrt{8^2 + 4^2} = \sqrt{80} = 8{,}944\ \text{m}$$$$V_{(8,0)} = K\left(\frac{+10^{-6}}{8{,}944} + \frac{-10^{-6}}{8{,}944}\right)$$$$V_{(8,0)} = 0\ \text{V}$$El potencial es nulo, y no hace falta ni calcular: las dos contribuciones son iguales en módulo y opuestas en signo. De hecho, todo el eje $X$ es una superficie equipotencial de valor cero, por ser la mediatriz del segmento que une las dos cargas iguales y opuestas.

Potencial en $(0,6)$. Ahora las distancias son distintas:$$r_1 = |6 - (-4)| = 10\ \text{m}\ \text{(a la carga positiva)} \qquad r_2 = |6 - 4| = 2\ \text{m}\ \text{(a la negativa)}$$$$V_{(0,6)} = 9\cdot 10^{9}\left(\frac{10^{-6}}{10} - \frac{10^{-6}}{2}\right) = 9\cdot 10^{9}\,(10^{-7} - 5\cdot 10^{-7})$$$$V_{(0,6)} = 9\cdot 10^{9}\cdot(-4\cdot 10^{-7})$$$$V_{(0,6)} = -3600\ \text{V}$$Es negativo porque el punto está mucho más cerca de la carga negativa ($2\,\text{m}$) que de la positiva ($10\,\text{m}$).

b) ii) El trabajo realizado por el campo es$$W = q\,(V_i - V_f) = 5\cdot 10^{-3}\cdot\bigl(0 - (-3600)\bigr) = 5\cdot 10^{-3}\cdot 3600$$$$W = +18\ \text{J}$$Interpretación del signo. El trabajo es positivo, lo que significa que el campo eléctrico realiza el trabajo a favor del desplazamiento: la carga se mueve espontáneamente de $(8,0)$ a $(0,6)$, sin necesidad de ningún agente externo.

Tiene sentido físico: la carga trasladada es positiva y se dirige hacia una región de potencial menor ($-3600\,\text{V}$ frente a $0\,\text{V}$), que es exactamente la tendencia natural de una carga positiva. Al hacerlo, su energía potencial disminuye en $18\,\text{J}$ y esa energía se convierte en cinética. En términos físicos, la carga positiva es atraída por la carga negativa que tiene cerca del punto de llegada.