Campo magnético creado por corrientes

a) El campo creado por un hilo recto muy largo a una distancia $d$ vale$$B = \frac{\mu_0 I}{2\pi d}$$y sus líneas son circunferencias alrededor del hilo, con el sentido dado por la regla de la mano derecha.

i) Corrientes en sentidos iguales. Situando los dos hilos verticales con las corrientes hacia arriba, en la región entre ellos el campo del hilo izquierdo es entrante en el papel y el del derecho es saliente: sentidos opuestos. Pueden por tanto cancelarse, y como las intensidades son iguales, eso ocurre donde las distancias también lo son, es decir, en el punto medio:$$\frac{\mu_0 I}{2\pi\,(d/2)} = \frac{\mu_0 I}{2\pi\,(d/2)} \quad\text{con sentidos opuestos}\quad\Longrightarrow\quad B = 0$$Sí puede ser cero, exactamente en el punto medio.

ii) Corrientes en sentidos opuestos. Ahora, entre los hilos, los dos campos apuntan en el mismo sentido (ambos entrantes, o ambos salientes, según la disposición), de modo que se suman. Su suma nunca puede anularse:$$B_{\text{total}} = \frac{\mu_0 I}{2\pi x} + \frac{\mu_0 I}{2\pi (d-x)} > 0$$No puede ser cero en ningún punto entre los dos hilos. (Tampoco fuera, al ser las intensidades iguales.)

b) i) El sentido es el mismo en ambos hilos. El primer conductor crea en la posición del segundo un campo $\vec{B}_1$ perpendicular al plano que los contiene; sobre el segundo, recorrido por $I_2$, actúa la fuerza$$\vec{F} = I_2\,\vec{L}\times\vec{B}_1$$Aplicando la regla de la mano derecha se comprueba que, si las corrientes van en el mismo sentido, la fuerza sobre cada hilo apunta hacia el otro: los conductores se atraen. Si fueran de sentidos opuestos, se repelerían.

Comprobémoslo con vectores. Dibujamos el hilo 1 a la izquierda y el hilo 2 a la derecha, en el plano del papel, ambos con la corriente hacia arriba ($+\vec{j}$). Por la regla de la mano derecha, el campo del hilo 1 en la posición del hilo 2 es entrante en el papel ($\vec{B}_1 = -B_1\,\vec{k}$, se dibuja con $\otimes$), y el del hilo 2 en la posición del hilo 1 es saliente ($\vec{B}_2 = +B_2\,\vec{k}$, se dibuja con $\odot$). Entonces$$\vec{F}_{12} = I_2 L\,\vec{j}\times(-B_1\,\vec{k}) = -I_2 L B_1\,\vec{i} \qquad \vec{F}_{21} = I_1 L\,\vec{j}\times(B_2\,\vec{k}) = +I_1 L B_2\,\vec{i}$$La fuerza sobre el hilo 2 apunta hacia la izquierda y la del hilo 1 hacia la derecha: cada una hacia el otro hilo, de igual módulo y sentidos opuestos (tercera ley de Newton).

Como el enunciado dice que se atraen, las corrientes tienen el mismo sentido. En el esquema: dos flechas verticales de corriente hacia arriba, $\otimes$ junto al hilo derecho, $\odot$ junto al izquierdo y dos flechas horizontales de fuerza apuntando una hacia la otra.

b) ii) La fuerza por unidad de longitud entre dos conductores paralelos es$$\frac{F}{L} = \frac{\mu_0\,I_1\,I_2}{2\pi\,d}$$Al ser $I_1 = I_2 = I$:$$\frac{F}{L} = \frac{\mu_0\,I^2}{2\pi\,d} \quad\Longrightarrow\quad I^2 = \frac{2\pi\,d}{\mu_0}\cdot\frac{F}{L}$$$$I^2 = \frac{2\pi\cdot 0{,}20}{4\pi\cdot 10^{-7}}\cdot 5\cdot 10^{-8} = \frac{0{,}20}{2\cdot 10^{-7}}\cdot 5\cdot 10^{-8} = 0{,}05$$$$I = \sqrt{0{,}05} = 0{,}224\ \text{A}$$