Campo y potencial eléctrico

a) i) Sobre una carga negativa la fuerza eléctrica es$$\vec{F} = q\vec{E} \quad\text{con } q<0$$es decir, opuesta al campo. Si la partícula se mueve en el mismo sentido que $\vec{E}$, se está moviendo en contra de la fuerza que sufre, luego el trabajo del campo es negativo:$$W = \vec{F}\cdot\vec{d} < 0 \quad\Longrightarrow\quad \Delta E_p = -W > 0$$Su energía potencial aumenta, y por tanto el movimiento no es espontáneo: hace falta un agente externo que la empuje. (Coherente con $E_p = qV$: al avanzar en el sentido del campo, el potencial $V$ disminuye, y siendo $q$ negativa, $E_p = qV$ crece.)

Espontáneamente, una carga negativa se mueve en sentido contrario al campo, hacia potenciales mayores.

a) ii) Si el desplazamiento es perpendicular a las líneas de campo, la fuerza (paralela al campo) es perpendicular al desplazamiento:$$W = \vec{F}\cdot\vec{d} = 0 \quad\Longrightarrow\quad \Delta E_p = 0$$La energía potencial no varía: la partícula se está desplazando sobre una superficie equipotencial, ya que en un campo uniforme las equipotenciales son planos perpendiculares a las líneas de campo.

b) i) Vector que va de la carga al punto:$$\vec{r}_{AP} = (2,2) - (1,1) = (1,1) \qquad r = \sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2} = 1{,}41\ \text{m} \qquad r^2 = 2\ \text{m}^2$$Módulo del campo:$$E = \frac{K\,q}{r^2} = \frac{9\cdot 10^{9}\cdot 2\cdot 10^{-6}}{2} = 9\cdot 10^{3}\ \text{N}\,\text{C}^{-1}$$Como la carga es positiva, el campo en $P$ apunta alejándose de $A$, en la dirección del unitario$$\hat{u} = \frac{(1,1)}{\sqrt{2}} = (0{,}707;\,0{,}707)$$$$\vec{E}_P = 9\cdot 10^{3}\,(0{,}707\,\vec{i} + 0{,}707\,\vec{j}) = 6{,}36\cdot 10^{3}\,\vec{i} + 6{,}36\cdot 10^{3}\,\vec{j}\ \ \text{N}\,\text{C}^{-1}$$con módulo $9\cdot 10^{3}\,\text{N}\,\text{C}^{-1}$ y dirección la de la bisectriz del primer cuadrante, alejándose de la carga.

b) ii) Potencial creado por la carga en $P$:$$V_P = \frac{K\,q}{r} = \frac{9\cdot 10^{9}\cdot 2\cdot 10^{-6}}{1{,}41} = 1{,}27\cdot 10^{4}\ \text{V}$$En el infinito, $V_\infty = 0$. El trabajo que hay que realizar desde fuera para traer la carga $q' = 3\,\mu\text{C}$ es el incremento de su energía potencial:$$W_{\text{ext}} = \Delta E_p = q'\,(V_P - V_\infty) = 3\cdot 10^{-6}\cdot 1{,}27\cdot 10^{4}$$$$W_{\text{ext}} = 3{,}82\cdot 10^{-2}\ \text{J}$$Justificación del signo. Es positivo. Las dos cargas son positivas y se repelen, así que acercar la segunda desde el infinito exige vencer esa repulsión: el agente externo tiene que aportar energía. El trabajo que realizan las fuerzas del campo es el opuesto, $-3{,}82\cdot 10^{-2}\,\text{J}$.