Inducción electromagnética

a) i) Sí cambia, pero solo durante la entrada. Conviene distinguir tres etapas:

• Antes de entrar: la espira está fuera de la región del campo, luego $B = 0$ en toda su superficie y $\Phi = 0$.
• Mientras entra: cada vez es mayor la porción de superficie de la espira que queda dentro de la región con campo, así que el flujo aumenta progresivamente (en valor absoluto).
• Una vez dentro por completo: toda la superficie está en el campo uniforme, y $\Phi = -B\,S$ permanece constante mientras siga avanzando.

El signo negativo refleja que $\vec{B}$ va según $-\vec{k}$ mientras que el vector superficie, si lo tomamos según $+\vec{k}$, apunta al contrario.

a) ii) Solo se induce corriente durante la entrada, que es el único intervalo en el que $\Phi$ varía:$$\varepsilon = -\frac{d\Phi}{dt} \neq 0 \quad\text{únicamente mientras la espira entra}$$Sentido. El campo es entrante en el plano $XY$ (va según $-\vec{k}$) y su flujo entrante aumenta. Por la ley de Lenz, la corriente inducida se opone a ese aumento generando en el interior de la espira un campo saliente, es decir, según $+\vec{k}$. Aplicando la regla de la mano derecha, eso corresponde a una corriente en sentido antihorario vista desde el eje $+Z$.

Una vez la espira está completamente dentro, el flujo deja de variar y la corriente cesa, aunque la espira siga moviéndose.

b) i) El área de la espira es$$S = \pi\,r^2 = \pi\,(0{,}05)^2 = 7{,}85\cdot 10^{-3}\ \text{m}^2$$Al girar en torno a un diámetro perpendicular al campo, el ángulo entre $\vec{B}$ y el vector superficie es $\theta = \omega\,t$. Como en $t = 0$ el flujo es máximo, el vector superficie está alineado con el campo en ese instante, y la función que corresponde es el coseno:$$\Phi(t) = B\,S\cos(\omega t) = 10\cdot 7{,}85\cdot 10^{-3}\cdot\cos(\pi t)$$$$\Phi(t) = 7{,}85\cdot 10^{-2}\cos(\pi t)\ \ \text{Wb}$$b) ii) La fuerza electromotriz es la derivada cambiada de signo:$$\varepsilon(t) = -\frac{d\Phi}{dt} = B\,S\,\omega\,\text{sen}(\omega t) = 7{,}85\cdot 10^{-2}\cdot\pi\cdot\text{sen}(\pi t)$$$$\varepsilon(t) = 0{,}247\,\text{sen}(\pi t)\ \ \text{V}$$En el instante $t = 50\,\text{s}$:$$\varepsilon(50) = 0{,}247\cdot\text{sen}(50\pi)$$Y aquí está la clave: $50\pi$ es un múltiplo entero de $\pi$, luego$$\text{sen}(50\pi) = 0 \quad\Longrightarrow\quad \varepsilon(50) = 0\ \text{V}$$La f.e.m. es nula en ese instante. Tiene sentido físico: con $\omega = \pi\,\text{rad}\,\text{s}^{-1}$ el periodo es $T = 2\,\text{s}$, así que a los $50\,\text{s}$ han pasado exactamente $25$ periodos y la espira está de nuevo en la posición de flujo máximo (en módulo), que es justo donde el flujo deja de variar y la f.e.m. se anula.