Campo magnético creado por corrientes

Sobre el electrón ($q = -e$) actúan $\vec F_E = q\vec E$ (opuesta a $\vec E$) y $\vec F_B = q\,\vec v\times\vec B$ (perpendicular a $\vec v$ y a $\vec B$).

a.i) Velocidad constante (MRU): la fuerza total debe ser nula, $q\vec E + q\,\vec v\times\vec B = 0\Rightarrow \vec E = -\vec v\times\vec B$. Caben dos situaciones:

• $\vec v\perp\vec B$: entonces $\vec E$ debe ser perpendicular a $\vec v$ y a $\vec B$ y de módulo $E = vB$ (selector de velocidades). Esquema: $\vec v$ hacia la derecha ($+x$), $\vec B$ entrante ($-z$); la fuerza magnética sobre el electrón es $-e\,v\,\vec i\times(-B\vec k) = -evB\,\vec j$ (hacia abajo), así que la eléctrica debe ir hacia arriba, lo que exige $\vec E$ hacia abajo ($-y$), con $E = vB$. Las tres magnitudes forman un triedro: $\vec v$, $\vec B$ y $\vec E$ mutuamente perpendiculares.
• $\vec v\parallel\vec B$: la fuerza magnética es nula y entonces también debe serlo el campo eléctrico ($\vec E = 0$), o no habría MRU.

a.ii) MRUA: la fuerza total debe ser constante y dirigida a lo largo de la trayectoria. La fuerza magnética, siempre perpendicular a $\vec v$, curvaría la trayectoria, así que debe anularse: $\vec v\parallel\vec B$ (el electrón se mueve en la dirección del campo magnético, en cualquier sentido). La aceleración la produce solo la fuerza eléctrica, constante, que debe tener la dirección de $\vec v$: $\vec E$ paralelo a $\vec v$ (y a $\vec B$). Esquema: los tres vectores sobre la misma recta. Si $\vec E$ tiene el sentido de $\vec v$, la fuerza sobre el electrón es opuesta al movimiento y este se frena (uniformemente decelerado); si $\vec E$ es opuesto a $\vec v$, el electrón se acelera.

b.i) $P$ está entre los hilos, a $0{,}25\,\text{m}$ de A y $0{,}75\,\text{m}$ de B (los hilos están separados $100\,\text{cm}$, según la figura). Por la regla de la mano derecha, el campo de A (corriente hacia arriba) en $P$, a su derecha, es entrante en el plano XY. Para que el total sea cero, el campo de B en $P$ (a su izquierda) debe ser saliente e igual en módulo; eso exige que $I_B$ circule también hacia arriba:$$\frac{\mu_0 I_A}{2\pi\cdot0{,}25} = \frac{\mu_0 I_B}{2\pi\cdot0{,}75}\Rightarrow I_B = 10\cdot\frac{0{,}75}{0{,}25} = 30\ \text{A}\ (\text{hacia arriba})$$b.ii) En el punto (a $0{,}05\,\text{m}$ a la derecha de B y $1{,}05\,\text{m}$ de A), ambos campos son entrantes ($-\vec k$), porque el punto está a la derecha de dos corrientes hacia arriba:$$B = \frac{\mu_0 I_A}{2\pi\cdot1{,}05} + \frac{\mu_0 I_B}{2\pi\cdot0{,}05} = 1{,}9\cdot10^{-6} + 1{,}2\cdot10^{-4} = 1{,}22\cdot10^{-4}\ \text{T}\quad(\vec B = -1{,}22\cdot10^{-4}\,\vec k\ \text{T})$$Fuerza de Lorentz sobre el electrón, con $\vec v = 5\cdot10^{3}\,\vec j\ \text{m s}^{-1}$:$$\vec F = q\,\vec v\times\vec B = (-1{,}6\cdot10^{-19})\,(5\cdot10^{3}\,\vec j)\times(-1{,}22\cdot10^{-4}\,\vec k) = 9{,}8\cdot10^{-20}\,\vec i\ \text{N}$$(pues $\vec j\times\vec k = \vec i$ y los dos signos negativos se compensan). Módulo $F = e\,v\,B = 9{,}8\cdot10^{-20}\,\text{N}$, horizontal y hacia la derecha ($+x$), alejándose del hilo B.