Movimiento de cargas: fuerza de Lorentz

a) Por el hilo, situado sobre $OY$, circula $I$ hacia $+Y$. Aplicando la regla de la mano derecha, a la derecha del hilo (zona $x>0$, donde está la espira) el campo magnético es entrante en el plano $XY$ ($-\vec{k}$).

i) Se aumenta la corriente. El campo entrante crece, luego el flujo entrante a través de la espira aumenta. Por Lenz, la corriente inducida crea dentro de la espira un campo saliente para oponerse, lo que corresponde a una corriente inducida en sentido antihorario (vista desde $+Z$).

ii) La espira se aleja con $I$ constante. Al aumentar la distancia, $B = \mu_0 I/(2\pi d)$ disminuye y el flujo entrante decrece. Por Lenz, la corriente inducida intenta mantenerlo creando dentro un campo entrante, lo que corresponde a una corriente inducida en sentido horario.

Esquema: se dibuja el hilo vertical sobre el eje $OY$ con su flecha de corriente hacia arriba y, a su derecha, la espira circular; el campo del hilo en la zona de la espira se representa con aspas $\otimes$ (entrante). En el caso i) se dibujan dentro de la espira puntos $\odot$ para el campo inducido (saliente) y una flecha de giro antihoraria sobre la espira; en el caso ii), aspas $\otimes$ para el campo inducido (entrante) y una flecha de giro horaria.

b1) i) El electrón entra con $\vec{v} = 3\cdot 10^{5}\,\vec{i}$ en $\vec{B} = 0{,}2\,\vec{j}$. La fuerza es$$\vec{F} = q\,\vec{v}\times\vec{B} = (-e)\,(3\cdot 10^{5}\,\vec{i})\times(0{,}2\,\vec{j}) = -e\cdot 6\cdot 10^{4}\,\vec{k}$$$$\vec{F} = -1{,}6\cdot 10^{-19}\cdot 6\cdot 10^{4}\,\vec{k} = -9{,}6\cdot 10^{-15}\,\vec{k}\ \text{N}$$Es perpendicular a $\vec{v}$ y de módulo constante: la trayectoria es una circunferencia contenida en el plano $XZ$ (el perpendicular a $\vec{B}$). En el esquema, el electrón entra hacia $+X$ y la fuerza inicial lo empuja hacia $-Z$: la velocidad va girando de $+X$ hacia $-Z$ y el centro de la circunferencia queda a una distancia $R$ del punto de entrada en la dirección $-Z$. Visto desde el semieje $+Y$ (mirando en contra de $\vec{B}$), el electrón gira en sentido antihorario, al revés de lo que haría un protón. Como $\vec{v} \perp \vec{B}$ en todo momento, no hay componente de la velocidad a lo largo de $\vec{B}$ y la trayectoria es una circunferencia (no una hélice), recorrida con rapidez constante porque la fuerza magnética no realiza trabajo.

ii) Igualando fuerza magnética y centrípeta:$$R = \frac{m_e v}{e B} = \frac{9{,}1\cdot 10^{-31}\cdot 3\cdot 10^{5}}{1{,}6\cdot 10^{-19}\cdot 0{,}2} = 8{,}53\cdot 10^{-6}\ \text{m}$$$$T = \frac{2\pi m_e}{e B} = \frac{2\pi\cdot 9{,}1\cdot 10^{-31}}{1{,}6\cdot 10^{-19}\cdot 0{,}2} = 1{,}79\cdot 10^{-10}\ \text{s}$$iii) La diferencia de potencial que lo aceleró desde el reposo cumple$$e\,\Delta V = \tfrac{1}{2}m_e v^2 \quad\Longrightarrow\quad \Delta V = \frac{9{,}1\cdot 10^{-31}\cdot (3\cdot 10^{5})^2}{2\cdot 1{,}6\cdot 10^{-19}}$$$$\Delta V = 0{,}256\ \text{V}$$La simulación dibuja el plano $XZ$ visto desde el semieje $+Y$: $\vec{B}$ sale de la pantalla, $X$ va hacia la derecha y $-Z$ hacia arriba, así que el electrón se curva hacia arriba ($-Z$) y gira en sentido antihorario.

b2) i) Las dos cargas son positivas, así que la única zona donde sus fuerzas sobre una tercera carga pueden tener sentidos opuestos es entre ellas, sobre el segmento $AB$. Llamando $x$ a la distancia desde $A$:$$\frac{K q_1}{x^2} = \frac{K q_2}{(6-x)^2} \quad\Longrightarrow\quad \frac{2}{x^2} = \frac{4}{(6-x)^2} \quad\Longrightarrow\quad (6-x)^2 = 2x^2$$$$6 - x = \sqrt{2}\,x \quad\Longrightarrow\quad x = \frac{6}{1+\sqrt{2}} = 2{,}49\ \text{m}$$El punto es $P(2{,}49,\,0)\,\text{m}$, más cerca de la carga menor, como cabía esperar. (La otra solución de la ecuación, $6 - x = -\sqrt{2}\,x$, da $x = -14{,}5\,\text{m}$, fuera del segmento, donde las dos fuerzas van en el mismo sentido: no es válida.) En $P$ el campo eléctrico total es nulo, así que la tercera carga queda en reposo sea cual sea su valor y su signo.

Esquema: las dos cargas sobre el eje $X$, el punto $P$ entre ellas y, sobre una carga positiva en $P$, dos flechas iguales y opuestas: $\vec{F}_1$ hacia $+X$ (repulsión de $A$) y $\vec{F}_2$ hacia $-X$ (repulsión de $B$). Fuera del segmento las dos fuerzas tienen el mismo sentido y no pueden anularse.

ii) Fuerzas sobre $q_3 = +3\cdot 10^{-6}\,\text{C}$ situada en $P$. De $q_1$ (repulsiva, hacia $+X$):$$F_1 = \frac{9\cdot 10^{9}\cdot 2\cdot 10^{-6}\cdot 3\cdot 10^{-6}}{(2{,}49)^2} = 8{,}74\cdot 10^{-3}\ \text{N}$$$$\vec{F}_1 = +8{,}74\cdot 10^{-3}\ \vec{i}\ \text{N}$$De $q_2$ (repulsiva, hacia $-X$), a $6 - 2{,}49 = 3{,}51\,\text{m}$:$$F_2 = \frac{9\cdot 10^{9}\cdot 4\cdot 10^{-6}\cdot 3\cdot 10^{-6}}{(3{,}51)^2} = 8{,}74\cdot 10^{-3}\ \text{N}$$$$\vec{F}_2 = -8{,}74\cdot 10^{-3}\ \vec{i}\ \text{N}$$Suman cero, que es justamente la condición que impusimos.

iii) Energía potencial de $q_3$ en ese punto:$$E_p = K q_3\left(\frac{q_1}{r_1} + \frac{q_2}{r_2}\right) = 9\cdot 10^{9}\cdot 3\cdot 10^{-6}\left(\frac{2\cdot 10^{-6}}{2{,}49} + \frac{4\cdot 10^{-6}}{3{,}51}\right)$$$$E_p = 2{,}7\cdot 10^{4}\cdot 1{,}94\cdot 10^{-6} = 5{,}25\cdot 10^{-2}\ \text{J}$$