Campo magnético creado por corrientes

a) Situemos el conductor a lo largo del eje $OX$ con la corriente en el sentido $+X$, y la carga positiva en un punto por encima de él, sobre el eje $OY$, a una distancia $d$.

Por la regla de la mano derecha, el campo que crea el hilo en ese punto es$$\vec{B} = \frac{\mu_0\,I}{2\pi\,d}\ \vec{k}$$es decir, saliente del papel (si dibujamos el plano $XY$ con $X$ a la derecha e $Y$ hacia arriba).

i) La carga se mueve paralelamente al conductor, en el mismo sentido que la corriente: $\vec{v} = v\,\vec{i}$.$$\vec{F} = q\,\vec{v}\times\vec{B} = q\,v\,B\,(\vec{i}\times\vec{k}) = q\,v\,B\,(-\vec{j}) = -q\,v\,B\ \vec{j}$$La fuerza apunta según $-Y$, es decir, hacia el conductor: la carga es atraída.

Es coherente con el comportamiento de dos corrientes paralelas del mismo sentido, que se atraen: una carga positiva moviéndose equivale a una corriente en su mismo sentido.

ii) La carga se mueve perpendicularmente al conductor, acercándose: $\vec{v} = -v\,\vec{j}$.$$\vec{F} = q\,(-v\,\vec{j})\times(B\,\vec{k}) = -q\,v\,B\,(\vec{j}\times\vec{k}) = -q\,v\,B\ \vec{i}$$La fuerza apunta según $-X$, es decir, es paralela al conductor y de sentido contrario a la corriente.

Obsérvese la diferencia entre los dos casos: en i) la fuerza es perpendicular al hilo (atrae la carga hacia él) y en ii) es paralela al hilo. En ambos, la fuerza es perpendicular a la velocidad, así que no modifica la energía cinética de la partícula, solo la dirección de su movimiento.

b) Sobre el hilo actúan solo dos fuerzas: el peso, según $-Y$, y la fuerza magnética. Para que haya equilibrio:$$\vec{F}_B + \vec{P} = \vec{0} \quad\Longrightarrow\quad \vec{F}_B = +m\,g\ \vec{j}$$La fuerza magnética debe apuntar hacia arriba ($+Y$) y valer exactamente $m\,g$.

Sentido de la corriente. La fuerza sobre un hilo rectilíneo es $\vec{F} = I\,\vec{L}\times\vec{B}$, con $\vec{L}$ en el sentido de la corriente. Probamos con la corriente en el sentido $+X$:$$\vec{F} = I\,L\,(\vec{i}\times 0{,}5\,\vec{k}) = I\,L\cdot 0{,}5\,(\vec{i}\times\vec{k}) = -0{,}5\,I\,L\ \vec{j}$$Sale hacia abajo, que es justo lo contrario de lo que hace falta. Por tanto, la corriente debe circular en el sentido negativo del eje $OX$:$$\vec{L} = -L\,\vec{i} \quad\Longrightarrow\quad \vec{F} = +0{,}5\,I\,L\ \vec{j} \ \checkmark$$Esquema: el hilo a lo largo del eje $OX$, el campo $\vec{B}$ saliente del papel, la corriente hacia $-X$, el peso hacia abajo y la fuerza magnética hacia arriba, equilibrándolo.

Valor de la intensidad. Igualando módulos:$$I\,L\,B = m\,g \quad\Longrightarrow\quad I = \frac{m\,g}{L\,B} = \frac{8\cdot 10^{-3}\cdot 9{,}8}{0{,}2\cdot 0{,}5} = \frac{0{,}0784}{0{,}1}$$$$I = 0{,}784\ \text{A}$$