Campo magnético creado por corrientes

a) i) La ley de Lorentz da la fuerza que experimenta una carga puntual $q$ que se mueve con velocidad $\vec{v}$ en una región donde hay un campo eléctrico $\vec{E}$ y uno magnético $\vec{B}$:$$\vec{F} = q\,\vec{E} + q\,\vec{v}\times\vec{B}$$Magnitudes y unidades en el S.I.:

• $\vec{F}$: fuerza, en newtons (N).
• $q$: carga, en culombios (C).
• $\vec{E}$: campo eléctrico, en $\text{N}\,\text{C}^{-1}$ (o $\text{V}\,\text{m}^{-1}$).
• $\vec{v}$: velocidad, en $\text{m}\,\text{s}^{-1}$.
• $\vec{B}$: campo magnético, en teslas (T).

a) ii) Si solo hay campo magnético y la partícula se mueve perpendicularmente a él, el módulo de la fuerza es máximo:$$F = |q|\,v\,B\,\text{sen}\,90^\circ = |q|\,v\,B$$La dirección es la perpendicular al plano que forman $\vec{v}$ y $\vec{B}$, y el sentido lo da la regla de la mano derecha aplicada a $\vec{v}\times\vec{B}$, corregida por el signo de la carga:

• Para una carga positiva, $\vec{F}$ tiene el sentido de $\vec{v}\times\vec{B}$.
• Para una carga negativa, $\vec{F}$ tiene el sentido opuesto a $\vec{v}\times\vec{B}$.

En el esquema: si $\vec{B}$ es entrante en el papel y $\vec{v}$ apunta hacia la derecha, una carga positiva sufre una fuerza hacia arriba y una negativa hacia abajo. Por eso dos partículas de signo opuesto que entran igual se curvan en sentidos contrarios. En ambos casos la fuerza es perpendicular a la velocidad, así que no realiza trabajo y la trayectoria es circular.

b) i) El primer conductor crea en la posición del segundo un campo magnético $B_1 = \dfrac{\mu_0 I_1}{2\pi d}$, perpendicular al plano que contiene a ambos hilos. Sobre el segundo, recorrido por $I_2$, actúa la fuerza $\vec{F} = I_2\,\vec{L}\times\vec{B}_1$.

Comprobémoslo con vectores. Dibujamos el hilo 1 a la izquierda y el hilo 2 a la derecha, en el plano del papel, ambos con la corriente hacia arriba ($+\vec{j}$). Por la regla de la mano derecha, el campo del hilo 1 en la posición del hilo 2 es entrante en el papel, $\vec{B}_1 = -B_1\,\vec{k}$ (se dibuja con $\otimes$), así que$$\vec{F}_{12} = I_2 L\,\vec{j}\times(-B_1\,\vec{k}) = -I_2 L B_1\,\vec{i}$$La fuerza sobre el hilo 2 apunta hacia la izquierda, hacia el hilo 1. Del mismo modo, el campo del hilo 2 en el hilo 1 es saliente ($\odot$) y la fuerza sobre el hilo 1 apunta hacia la derecha, hacia el hilo 2. Si una de las corrientes se invirtiera, cambiaría el signo del producto vectorial y los hilos se repelerían.

Como el enunciado dice que se atraen, las corrientes circulan en el mismo sentido. En el esquema: dos flechas verticales de corriente hacia arriba, $\otimes$ junto al hilo derecho, $\odot$ junto al izquierdo y dos flechas horizontales de fuerza apuntando una hacia la otra.

b) ii) La fuerza por unidad de longitud entre dos conductores paralelos es$$\frac{F}{L} = \frac{\mu_0\,I_1\,I_2}{2\pi\,d}$$Despejando la distancia, con $I_1 = I_2 = 2\,\text{A}$:$$d = \frac{\mu_0\,I_1\,I_2}{2\pi\,(F/L)} = \frac{4\pi\cdot 10^{-7}\cdot 2\cdot 2}{2\pi\cdot 3\cdot 10^{-7}} = \frac{2\cdot 10^{-7}\cdot 4}{3\cdot 10^{-7}}$$$$d = \frac{8}{3} = 2{,}67\ \text{m}$$